资源描述：
《高等数学学习方法(fic)系列讲座10：级数的核心性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学学习方法高等数学学习方法(FIC)(FIC)系列讲座系列讲座1010----------------级数的核心性质级数的核心性质哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系卜长江卜长江EE--mail:buchangjiang@hrbeu.edu.cnmail:buchangjiang@hrbeu.edu.cn哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江高等数学FIC学习方法F：基础（基础知识，主要内容、问题）；I：思想（问题的核心、本质、体系）；C：分类解题（将数学问题分为若干类，研究每一类问题的解法，对每一类问题用较固定
2、的方法处理）。哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江第一部分：数项级数级数为何收敛与发散？正项级数∑an收敛主要原因：通项an趋于零且速度较快。任意项级数∑an收敛主要原因：⎧an→→0,∞n⎨a,,⎩n有正的有负的即和中有抵消的部分n1(-1)例如：∑发散，而∑收敛。nn哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江一、基本性质：1.级数∑an收敛的必要条件是liman=0.即:若∑an收敛,则n→∞liman=0;若liman≠0,则∑an发散.n→∞n→∞∞n−1a2.等比级数∑aq在q<1时收敛,其和为,在q≥1时发散.n=11−q3.设∑a
3、n为正项级数,则∑an收敛的充分必要条件是其部分和数列有上界.14.p–级数∑在p>1时收敛,在p≤1时发散.pn哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江5.比较判别法设∑an、∑bn为正项级数:(1).若abnn≤,且∑bn收敛,则∑an收敛.(2).若abnn≥,且∑bn发散,则∑an发散.6.极限判别法:an设∑an、∑bn为正项级数,且lim=≠l0(l为常数),则∑an、n→∞bn∑bn敛散性相同.哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江7.比值(根值)判别法a设∑a为正项级数,且limn+1=l(limnal=),nnn→∞an→∞n
4、(1).若l<1,则∑an收敛.(2).若l>1,则∑an发散.(3).若l=1,则此判别法失效.8.积分判别法∞+∞设f()x在[1,+∞)非负连续、单调递减,则∑f()n与∫f()xdx敛散性相1n=1同.哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江9.设∑un为任意项级数.若∑un收敛,则∑un收敛,此时称∑un绝对收敛.10..莱布尼兹判别法n设∑(1)−un为交错级数(un>0),若un单调递减、趋于零n则∑(1)−un收敛.哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江级数敛散性一般判别方法（级数部分解题程序图）：⎧vv→⇒Σ0发散nnΣv⎨n
5、⎩v→0n⎧⎧⎧比较判别法⎪⎪⎪⎪⎪⎪ΣvS是抽象级数若易求考虑是否有上界⎨,Snnn⎪⎪⎪Σv是正项级数⎨利用limv=0的"ε-N"定义比较判别法+⎪n⎪⎩n→∞n⎪⎪n⎪⎪⎧含或项用比值判别法nq!:⎪Σv是具体级数⎨⎪n⎨⎩⎩p级数类:用比较判别法,不能用比值判别法⎪⎪⎧Σ⇒
6、
7、vv收敛Σ绝对收敛nn⎪⎪⎪⎧⎧Σ⇒vv符合莱布尼茨条件Σ条件收敛⎪nn⎪ΣΣvvnn是任意项级数:考虑
8、
9、⎨⎨⎪Σvn是交错级数Σ⎪Σ
10、
11、vn发散⎨⎩Σvn不符合莱布尼茨条件:将vn拆项⎪⎪⎪⎪⎩ΣΣvv不是交错级数:将拆项⎩⎩nn哈尔滨工程大学理学院应用数
12、学系，卜长江常用的不等式：1221.ab≤+()ab22.设0αα>为常数，则存在X>0，使得当xX≥时有lnxx≤。3.xx≥0时，ln(1+xx)≤，ex≥+1。常用的等价无穷小：x→0时:xsin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~xxxx+xex−1~12α1cos~−xx,(1+xx)−≠1~α(α0)2哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江三、例题∞111.∑(s−in)的敛散性.n=1nnn(1)−2.∑的敛散性.nn+−4(1)n−1sinnn+3.∑(1)−2的敛散性.n∞n3!n4.∑n的敛散性.n=1n5.
13、若级数∑an收敛(0an≥),则()收敛.anlna+1annnnA.∑.B.∑.C.∑(1)−aann+1D.∑.nn1+an哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江∞111.∑(s−in)的敛散性.n=1nn133解：sinxx=−xox+()3!1111−sin∼3nnn3!哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜长江n(1)−2.∑的敛散性.nn+−4(1)∞∞n(1)−1解：∑∑
14、
15、=发散.nnnn==17nn+−4(1)17+−4(1)n(1)−∑不满足莱布尼茨条件.nn+4(1)−∞∞nnn(1)−−(1)n−4(1)−∑∑=nnnnn
16、==17nn+4(1)−+174(1)−n−4(1)−∞∞nn(1)−−nn4(1)−4==∑∑()−nn=17nn−−16=1716n−16发散哈尔滨工程大学理学
