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《高等数学学习方法(fic)系列讲座11_微分方程基本解法的实质_卜长江》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学学习方法(FIC)系列讲座11微分方程求解方法的探究哈尔滨工程大学理学院应用数学系卜长江E-mail:buchangjiang@hrbeu.edu.cn微分方程求解方法的探究常微分方程：含有导数或微分的方程：()nn(1)−Fyy(,,,,)0?yx=什么是通解？：n阶方程含有n个任意的、独立常数的解。求解的基本方法：⎧⎧()变量可分离方程1⎪⎪()齐次方程2⎪⎪⎪⎪⎪()贝努力方程3⎪1.统一变量⎨⎪⎪()全微分方程4⎪⎪⎪()欧拉方程5⎨⎪⎪⎪⎩(6)可降阶方程⎪⎧()线性齐次方程1⎪2.利用解的解构⎨⎪⎩()
2、线性非齐次方程2⎪⎪⎪⎩3.寻找原方程(也是统一变量)（1）变量可分离的方程形如：My()dy=Nxdx().求解方法:∫My()dy=∫Nxdx()原因：等式两端变量形式各自统一！（2）齐次方程dyy形如:=f().dxxyyy分析：yxx′′′==+()()xxxy求解方法:设u=，yu=x,则yux′=+u′方程化为xux+ufu′=(),du1∴∫=∫dx.f()uux−原因：统一了变量形式！（3）贝努力方程′+=α(0,1)形如:yPxyQxy()()α≠求解方法:−−ααdy1y+=Px()yQx(),dx1−
3、α1dy1−α∴+=P()xyQx().1−αdx1−αdy1−α∴+−(1αα)()Pxy=−(1)()Qxdx原因：统一了变量形式！（4）全微分方程设P,Q在单连通域G内有连续的偏导数,判断P(,)xydxQxydy+=(,)0在G内是某函数u的全微分⇔P=Q.yx求解方法一：如果P=Q，将PdxQd+y凑成du.yx2例.求(3xy+)dxxy++()dy=0的通解.∂∂PQ解∵=∴这是全微分方程∂∂yx2(3x++ydx)(x+ydy)2=3xdx+++ydyydxxdy⎛⎞321=dx⎜⎟++=yxy0⎝⎠232
4、1∴通解为xyx++=yc。2原因：统一了变量形式！求解方法二：如果PQ=，则yx(,)xyuP=+∫dxQdy=C(,)xy00求解方法三：如果PQ=，则du=PdxQd+y=0，yxuP′==,,uQ′xy所以uP=+∫dxC()y，uP′′=+(dxC)′()y=QC⇒()y⇒ux(,)y。yy∫（5）欧拉方程（可化为常系数线性方程）欧拉方程形如：nn()n−−1(1)nxy+Pxy+⋅⋅⋅+Pyfx=()1ndydydy分析x==dx1dlnxdxxdy11dydy⇒==,ltx=ndxxdlnxxdt22dy1d
5、ydy=+(??)222dxxdtdtt求解方法:令xe=,dydydt1dy则tx=ln,=⋅=⋅,dxdtdxxdt222dy11dydydt1dydy=−+=()−,??,22222dxxdtxdtdxxdtdt以此类推,代入原方程化为常系数线性方程.原因：统一了变量形式！232dydy例：求方程x−xx+=y1的通解(0x>).2dxdxt解此方程为欧拉方程。令x=e，则tx=ln，dydydt1dy=⋅=dxdtdxxdt22y2dy11dyddt11dydy=−+=−+222222dxxdtxdtdxxdtxd
6、t2dydy−t代入方程得：−2+=ye，则2dtdttt11−ycc=+()teeccxx+=+(ln)+121244x（6）可降阶方程主要有以下三种可降阶类型()n(1nn−)()1)yf=()x，求解方法：y==∫ydxyydx,,?∫′2)y′′=fxy(,)′(缺y型)，求解方法：设y′=uy,′′=u′du3)3.yfy′′=(,)y′(缺x型)，求解方法：设y′′==uy,′udy原因：统一了变量形式！2.线性方程n阶线性方程()nn(1)−形如：y++pxy()?+pxyfx()=()1n(1)n阶线性齐次
7、方程解的结构设y(),(),,()xyx?yx是n阶线性齐次方程12n()nn(1)−yp+()xy++?p()xy=01n的n个线性无关解，则齐次方程通解y=++cyxcyx()()?+cyx().1122nn(2).n阶线性非齐次方程解的结构*设y()x是n阶线性非齐次方程()nn(1)−y++px()y?+px()yf=()x特解，则非1n*齐次方程通解yyy=+.**若y(),()xyx是n阶线性非齐次方程12()nn(1)−y++px()y?+px()yf=()x特解，1n**则y()x−y()x是齐次方程12(
8、)nn(1)−yp++()xy?+p()xy=0的解。1n（3）一阶线性方程通解形如:y′+=PxyQx()()−∫∫Pdx⎡Pdx⎤求解方法：y=+eQedxC⎢⎣∫⎥⎦−−∫∫PdxPdx∫Pdxye=+∫QedxCe问题：一阶线性方程y′+PxyQx()=()通解公式是如何得到的？方法：统一变量方
