浅谈常微分方程的发展，一阶线性微分方程、的基本解法及应用

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1、狱子又咪任人♦论文题目：浅谈常微分方程的发/PC阶线性微分方程、数学与统计学院2014级数应二班罗均丽的基本解法及应用♦学院名称：♦专业班级：♦学生姓名:♦学号:♦授课教师:20140655011107赵博浅谈常微分方程的发展，一阶线性微分方程基本解法及应用罗均丽数学与统计学院重庆涪陵408100常微分方程是含有一个自变觉，未知函数以及未知函数的倒数（或微分）的方程。常微分方程从它发展至今，己经取得忤多的理论成果。现在，常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有蒞广泛的应用。今天，常微分

2、方程已经成为数学类专业的一门应用性较强的基础课，它的一些基本解法和理论是学生应该掌握的。可以说，常微分的诞生数学史屮的一个熏要的时刻。司常微分方程驻本解法应用人纲1.常微分方程的发展2.—阶线性微分方程的初等解法3.常微分方程的应用。“300年來分析是数学里首耍的分支，而微分方程又是分析的心脏。这是初等微积分的天然后继课，又足为了物理科学的一门最重耍的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又足髙等分析里火部分思想和理论的根源/’赛蒙斯曾如此评价微分方程在数学中的地位。正文我相信，每-个思想在出现

3、之前，它的一切都只存在一个未知的领域，等葙人们去发掘。我记得，我的老师说过，宥的思想的出现是远远超过时代的发展程度的，但无疑它又是对今后的社会发展宥很大的促进作用的。因此，了解历史，不仅仅是对过去的认识和学习。人类的历史太广泛，广泛到你永远不能熟悉每一方谢的历史。就像微分方程只是数学史中众多成员之一。它的事迹我相信在数学史中占冇一角。而我知道的只是冰山一角。常微分方程的发展常微分方程在微积分概念出现后就己出现，而且微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快就成了研宄自然现象的强有力的工具

4、。在17~18世纪，在力学，天文，物理和技术科学屮，就己借助微分方程取得了5大的成就。质点运动学和刚体动力学的问题很容易化为微分方程的求解问题。1864年leverrer根据常微分方程预见了海王星在天空长得位置。现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。这些应用也为微分方程的进一步发展提出了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研宂以便适应科学技术飞速发展的需要。常微分方程的发展阶段分为儿个时代。1.“求通解”时代，是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解。在这期间，莱布尼

5、茨曾专门研究利用変量変换解决一阶微分方程的求解问题，欧拉尝试川积分因子统一处理，出现們努利，里卡蒂微分方程，是以他们的名字命名的方程。2.“求定解”时代，以刘维尔于1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解为开始标志。这时期包含了对常微分方程定解问题包括边伉的解的存在性，唯一性等解的性质的研究，还有针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，如贝塞尔函数，勒让德多项式等，这些促进了微分方程与（复变）函数论结合产生微分方程理论。同时，由于天文计算的需要促进了常

6、微分方程摄动理论以及小参数，幂级数等近似方法的研允。3.“求所有解”时代，这时期处于19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题的研宂问题需要研宂常微分方程解的大范围性态，这也是这个“时代”到来的催化剂。这段时间里，庞加莱创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态：李雅普诺夫提出了运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解的趋向问题，在天文，物理己工程技术中得到广泛应用，先后在前苏联，美国受到极大重视。同吋，伯克霍夫在20世纪初在动力系统方面开辟了一个新领域，由于拓扑方法的渗入，2

7、0世纪50年代后经阿诺德，斯梅尔等大数学家的参与而得到蓬勃发展；“求特殊解”时代。20世纪六七十年代以后,计算机技术的发展使常微分方程迎来了这个新的时期，发现了具有新性质的特殊的解和方程，如如混沌(解)。洛伦茨在20世纪六十年代发现了称为Lorenz方程的常微分方程，对初值敏感的特导致了混沌现象的发现引起了科学界的震动，因此，被斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论〃。孤立子论对于可积的哈密顿系统的常微分方程的良好对应，引发了对停顿百年的常微分方程可积性的研宂热潮。一阶常微分方程的基本解法

8、常微分方程一直在发展中，能发展的东西都是具有可观价值潜能的，值得传承的，而传承的最好方式是教育。现在，我们己经认识到常微分方程属于数学分析的一支，是数学中与应用密切相关的基础学科。而且常微分方程在随着时间的前进而前进，在其他学科或领域都有着不可忽视的作用。因此，学好常微分方程基本理论，掌握常微分方程的基本解法对自己的学习方而，或是实际应用方而都非常重要。事实上，常微分方程已经成为大学生数学类专业的一门基础课程，走进了许多大学生的视野。于是，常微分方程的初等解法就成为了学生们必须掌握的基本内容(主