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《高等数学学习方法(fic)系列讲座7：多元函数微分法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《高等数学学习方法(FIC)系列讲座》7:多元函数微分卜长江Email:buchangjiang@hrbeu.edu.cnTel:82519384（O）哈尔滨工程大学理学院应用数学系2009.3.27哈尔滨工程大学理学院，卜长江高等数学FIC学习方法F：基础（基础知识，主要内容、问题）；I：思想（问题的核心、本质、体系）；C：分类解题（将数学问题分为若干类，研究每一类问题的解法，对每一类问题用固定的方法处理）。哈尔滨工程大学理学院，卜长江一、微积分的故事，上集：曲线的切线存在性曲线的切线存在性ΔyA=limΔ
2、→x0Δxf()xxfx+Δ−()=limΔ→x0Δx切线存在Δy⇔=limA()x存在Δ→x0ΔxΔy⇔−=lim(Ax())0Δ→x0Δx哈尔滨工程大学理学院，卜长江一、微积分的故事，上集：曲线的切线存在性ΔyΔy⇔−=lim(Ax())0⇔−=Ax()α→0,Δx→0Δ→x0ΔxΔx⇔Δ=yAxx()Δ+Δxα⇔Δ=yAxxox()Δ+Δ().dy=Ax()Δx，由于dx=1Δx，所dy以Ax()=.dxdydyAx()=称之为导数，记yx′()=。dxdx23例如：求x对x的导数。2dx22xdx解=
3、=32dx33xdxx哈尔滨工程大学理学院，卜长江一、微积分的故事，上集：牛顿的积分思想：已知vt()，在[,]tt，求s。12Δsvt()=st′()lim=⇒Δsvtd=+()tot()ΔΔ→t0Δtt⇒=sst()
4、2=ΣΔ=Σsvtd()tot+ΣΔ()t1=Σvtdt()=Σdst2=∫vtdt()。t1t2tvtdtst()==()
5、2s,其中stvt′()=()。∫tt11bb即f()xdxFx=()
6、。∫aa哈尔滨工程大学理学院，卜长江一、微积分的故事故事说了两件事：微分比值和微分和。这个故事
7、起源于切线斜率的研究。故事的作者：牛顿和莱布尼茨。故事的再现者：卜长江……….听故事的：哈尔滨工程大学学生哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、微积分的故事，下集：微积分的故事下集：对二元函数zf=(,)xyzyx哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、微积分的故事，下集：切平面的存在性考虑切平面的存在性zyx哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、微积分的故事，下集：切平面的存在性假设切平面存在，切平面z=Ax++ByC。GznAB=−{,,1}z=Ax++ByCyx哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、微积分的故事，下集：切平面的存
8、在性⇒任意方向的切线存在且共面GnA={,,1}B−Gsx={,,}ΔΔΔyzzzA=xB++yCyρ（x+△x，y+△y）（x，y）x哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、微积分的故事，下集：切平面的存在性KSK{,,ΔxyzΔΔ}⇒limin=0⇒lmii{,,1AB−}ρ→0ρ→0ρρAxByΔ+Δ−Δz=lim=0⇒AΔxByzo+Δ−Δ=(ρ)，ρ→0ρ即Δ=Δ+Δ+zAxByo(ρ)GnA=−{,,1}BGs=ΔΔΔ{,,}xyzzzA=++xByCy（x+△x，y+△y）ρ（x，y）x哈尔滨工程大学理
9、学院，卜长江二、微积分的故事，下集：切平面的存在性反之，若Δ=Δ+Δ+zAxByo(ρ)，也可证得曲面z=(,)xy在(,)xy点有切平面z=Ax++ByC。所以曲面z=(,)xy在(,)xy点有切平面z=Ax++ByC⇔Δz=Δ+Δ+AxByo(ρ).定义：曲面z=fxy(,)，若在(,)xy点Δz=Δ+Δ+AxByo(ρ)，则称z=fxy(,)在(,)xy点可微。哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、微积分的故事，下集：切平面的存在性所以，在(,)xy点，z=fxy(,)可微⇔切平面存在⇔法向量存在⇔Δz=Δ+
10、Δ+AxByo(ρ)K若可微，则切平面的法向量nA=−{,,1}B，切平面方程为z=Ax++ByC。则称dz=AxΔ+ΔBy为全微分。哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、微积分的故事，下集：切平面的存在性若z=fxy(,)可微，设切点为M(,,)xyz，则0000切平面方程：Axx()()−+−−−=Byy()zz0，即000z−zA=−+−=()()xxByyAxByΔ+Δ000所以全微分dz=AxΔ+ΔBy为曲面z=fxy(,)在M(,,)xyz上切平面的增量。0000哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、微积分的
11、故事，下集：切平面的存在性GnA={,,1}B−zz=++AxByCyρ（x+△x，y+△y）（x，y）x哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、微积分的故事，下集：切平面的存在性自然要问Δ=Δ+Δ+zAxByo(ρ)中的A,?B=取Δy=0，由Δz=Δ+Δ+AxByo(ρ)得f(,xx+Δ−yfx)(,yA)=Δxox+Δ(
12、
13、)f(,xx+Δyfx)−(,y)(ox
14、Δ
15、)⇒=A+ΔΔxxf(,xx+Δ
