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《高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.8多元函数的极值及其求法7.8.1极值及最大值、最小值7.8.2条件极值7.8.1极值及最大值、最小值1极值概念定义7.10设函数的定义域为D,为D的内点.若存在的某个邻域使得对于该邻域内异于的点都有则称函数在有极大值,点称为函数的极大值点；若有则称函数在有极小值,点称为函数的极小值点.极大值、极小值统称为极值.使得函数取得极值的点称为极值点.例例例在处有极小值.在处有极大值.在处无极值.2取极值的必要条件定理7.10设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：驻点极值点注意：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.例如,点(0,0)是函数
2、的驻点，证定理7.10设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面3取极值的充分条件定理7.11设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又令则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，当时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．求出实数解，得驻点.求出二阶偏导数的值A、B、C.例1解先解方程组再求出二阶偏导数如果三元函数u=f(x,y,z)在点考虑三元函数的极值偏导数，则它在点有极值的必要条件为满足上述条件的点仍称为驻点.若点M0是f(x,y,z)的驻
3、点,f(x,y,z)在点M0处所有的二阶偏导数都连续,则当矩阵具有为正定阵时,点M0为极小值点;为负定阵时,点M0为极大值点;如矩阵不是正定阵,也不是负定阵,则点M0不是极值点.最大值，最小值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.在通常遇到的实际问题中，所确定的函数只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是最大值(最小值).求最值的一般方法：例2求函数在闭区域D的最大值与最小值，其中D是由得f(x,y)在区域D内的唯一驻点(1,0),且f(1,0
4、)=1.在该圆上函数值均为零，因此解例3某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.解设水箱的长为则其高应为此水箱所用材料的面积即目标函数为令解得根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，又函数只有唯一的驻点，因此函数取得最小值.所用的材料最省.将一个正数a表为三个正数之和,使这三个正数的积为最大.例4解设这三个正数分别是x、y、z,则x+y+z=a.它们的积为xyz，由于z=a–x–y,所以问题就变为求函数在区域D={(x,y)
5、x>0,y>0,x+y6、点在该点,故是函数在D内唯一的极值点,且为极大值点,也就是函数的最大值点.这时,可见当三个数相等时,其乘积最大.7.8.2条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.条件极值：对自变量有附加条件的极值．对于有些实际问题，可以把条件极值化为无条件极值.但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不简单.我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极值的问题，这就是拉格朗日乘数法.要找函数在条件下的可能极值点，先构造函数其中为某一常数，可由解出其中就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数在条件下的极值，先构造函数其中均为
7、常数，可由偏导数为零及条件解出即得极值点的坐标.例5某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.解目标函数为f(x,y,z)=2(xy+xz+yz),约束条件为xyz–2=0.由拉格朗日乘数法,构造拉格朗日函数x>0,y>0,z>0得到方程组将方程组中的第一、二、三个方程的两端分别乘上x、y、z后即可以得到x=y=z，再将此结果代到最后一个方程中，即得x=y=z=例6求椭球面使长方体的体积为最大.的内接长方体,解设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为(x,y,z),则内接长方体的体积为8xyz,构造函数x>0,y>0,z>0得方程组（1）由
8、方程组的前三个方程得到将其代入到最后一个方程中,即得由于体积最大的内接长方体一定存在,方程组(1)的解又是唯一的,故就是所求的最大值点.所求的最大体积为例7.抛物面椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解设椭圆上点的坐标为满足令并使之为零，再结合条件，得解出例8.求函数f(x,y)=xy在闭区域上的最大值与最小值解由fx(x,y)=y=0,fy(x,y)=x=0,得到函数在区域内的唯一驻点为(0,0),且f(0,0)=0.的边界x2
