高中数学第二章平面向量23平面向量的数量积例题与探究新人教b版必修

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1、2.3平面向量的数量积典题精讲例1(2006全国高考卷I,文1)已知向量a、b满足

2、韵二l,

3、b

4、二4,且a・b二2,则a与b的夹角为()■兀7171A.—B.—C.—D・—6432思路解析:考查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条件.Vcos〈a,b)=—―=—,(a,b)E[0,n],2・；〈a,b)=—.3答案:C绿色通道:求向量a与b的夹角步骤：(1)计算b•a,

5、a

6、,

7、b

8、；(2)计算cos(a,b)；(3)根据范围确定夹角的大小.变式训练1(2006广东广州二模)若

9、a

10、=l,

11、b

12、=72,(a-b)丄a,则向量a与b的夹角为()A.3

13、0°B.45°C.90°D.135°思路解析：设a与b的夹角为0,V(a-b)・a二0,・：

14、a

15、2-b•a二0..lb・a=l.AcosQ=Cl9：，=—.又・・・0°W0W180°,A0=45°.2答案：B变式训练2已知a=(l,V3),b二(侖+1,V3-1),则a与b的夹角是多少？思路分析:利用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦值.解：设a与b的夹角为9,Ta二(1,73),b二(徭+1,73-1),.*.a•b=V3+1+V3(a/3-1)=4,

16、a

17、=2,

18、b1=2-72./.cosB二a*»二2^.又TOW()W兀，.I()=—,即a与b的夹角是Ic/

19、

20、

21、/71244变式训练3已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a~5b垂直，a~4b与7a~2b垂直，求a与b的夹角.思路分析:求a与b的夹角余弦值，只要求出a・b与

22、a

23、、

24、b

25、即可.解：・・・(a+3b)丄(7a-5b),(a+3b)・(7a~5b)=0..7a2+16a・b-15b=0.①又T(a-4b)丄(7a~2b),・・・(a-4b)•(7a-2b)=0.A7a'-30a・b+8b2=0.②①-②得46a・b=23b2,即有a・b=-b2=-

26、b

27、2.22代入①式，得7

28、a

29、2+8

30、b

31、2-15

32、b

33、2=0,故有

34、a

35、2=

36、b

37、2,即

38、a

39、=

40、b

41、.

42、・*.cos〈a,b)===—.ci\b\b\b2又・・・0°W

43、BC

44、=a=5,

45、C4

46、=b=8,图2-3-5BC^CA-201•IcosZC二=―二=一—

47、BC

48、

49、CA

50、5x82又・.・0°WZCW180。,AZC=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析:上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定

51、义，由于BC与CA两向量的起点并不同，故ZCH〈BC,CA〉,—-—-—-—-BC^CA-20I而是ZC+〈BC,CA)=180°,则cos〈BC,CA〉二二二二—=—IBC

52、

53、CA

54、5x82又・・・0°W〈BC,CA〉W180°,・・・(BC,CA)=120°.AZC-600.答案:这位同学的解答不正确，ZC二60°.批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么你就成功了，请你再试试吧.例2已知向量a、b不共线，且

55、2a+b

56、=

57、a+2b

58、,求证：(a+b)丄(a-b).思路分析:考查向量垂直的条件以及向量的数量积•证明(a+b)与(a-b)垂直，转化为证明(a+b

59、)与(a-b)的数量积为零，也可以利用向量线性运算的几何意义來证明.证法一：V

60、2a+b

61、=

62、a+2b

63、,・・・(2a+b)J(a+2b)2.4az+4ab+b2=aJ+4ab+4b；./.a：-b.(a+b)・(a-b)二a'-b匕0.又a与b不共线，a+bHO,a-bHO,(a+b)丄(a~b).证法二：如图2-3-6所示，在平行四边形OCED中，设OA=a,亦二b,A、B、N、M分别是OC.OD.DE、EC的中点.图2-3-6则有2a+b二OC+OB=OC+CM=0M,a+2b二OA+OD=DN+OD=ON,1•—*a+b=—OE,a~b=BA=NM,2*.•

64、12a+b

65、=

66、a+2b

67、,

68、OM

69、=

70、ON•••△OMN是等腰三角形.可证F是MN的中点.・・・0E丄BA.AOE丄NM.—OE丄BA./.(a+b)丄(a-b).2绿色通道：证明向量垂直的两种方法：(1)应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.(2)应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练己知向量a、b均为非零向量，且

71、a

72、=

73、b

74、,求证：(a-b)丄(a+b).思路分析:转化为证明向量(a-b)和(a+b)的数量积为0；或应用向量加减法的儿何意义来证明.证法一：如图2-3-7所示，在平行四边形OACB中,图2-3-7设OA二a,OB二b,则a-b=