高中数学第二章平面向量24平面向量的数量积例题与探究新人教A版必修4

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1、2.4平面向量的数量积典题精讲例1若向量3、b、c满足a+b+c二0,且

2、a

3、=3,

4、b

5、=l,

6、c

7、=4.则a•b+b•c+a•c=思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由己知条件，先得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式.方法一：Va+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b"+c2+2a・b+2b・c+2a・c二0,2(a•b+b•c+a•c)=-(a2+b2+c2)=_(Ia2+1b

8、2+c

9、2)=-(32+l2+42)=_26,•b+b・c+a•c=~13.方法二:根据己知条件可知

10、c

11、=

12、a

13、+

14、b

15、,c

16、=-a-b,所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a•b+b•c+a・c=3cos0°+4cosl80°+12cosl80°二3-4-12二一13.答案：T3绿色通道：方法一是将“(a+b)J£+2a・b+b"推广到(a+b+c)2=a3+b2+c2+2a•b+2b•c+2a•c予以解答.变式训练己知

17、a

18、=5,

19、b

20、=12,当且仅当in为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直？思路分析：(a+mb)丄(a-mb)U>(a+mb)・(a-mb)二0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量a+mb与a~mb互相垂直,则有(

21、a+mb)•(a~mb)=0.a'-mb=0.•・・

22、a

23、=5,

24、b

25、二12,・・・aJ25,bL144.・・・25—144ni、0.m=±—.12当且仅当m=±丄时，向量a+mb与a~mb互相垂直.12例2(福建高考卷，理11)已知

26、OA

27、=1,

28、OB

29、=・亦二0,点C在ZA0B内，H—“—-—-mZA0C=30°•设OC=inOA+nOB(m、nER),则一等于()n1y/sA.—B.3C.D.-y/s33思路分析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解•深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.

30、设OC=X(cos30°,sin30°)=(V32方法一：以直线0A、0B分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(1,O),B(O,巧).入，一入)，另外OC=mOA+nOB=m(l,0)+n(0,V3),2得孕,——Z=mV3n)o2=丄/U岳"12方法二：OC?=(mOA+nOB)2=m2OA2+nOB2二i『+3n〈/•IOC

31、=ylm2+3h2.rfl己知得ZB0C=60°,在等式OC=mOA+nOB(m^nUR)两端同乘以04,得OC•OA=mOA2,———>品I/•m=

32、OA

33、•

34、OC

35、cos30°=——Qm2+3,?2

36、=^>mJ=9n2m由题设知m>0,n>0,所以一二3.n答案：B黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；冇关向量的运算失误也易导致解答失误.变式训练(2006福建高考卷，文9)已知向量a与b的夹角为120。,

37、a

38、=3,

39、a+b

40、=713,则

41、b

42、等于()A.5B.4C.3D.1思路解析：向量a与b的夹角为120。，3

43、a

44、=3,Ia+b=y[3,a•b=

45、a

46、•

47、b

48、・cosl20°=-—

49、b

50、,2Ia+b12=

51、a12+2a•b+

52、b

53、2,A13=9-3

54、b

55、+

56、b

57、2,贝ij

58、b

59、=

60、-l(舍去)或

61、b

62、=4.答案：B例3(福建高考卷，理12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x】,yJ,B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:

63、

64、AB

65、

66、=

67、x2-xl

68、+

69、y2-yl

70、.给岀下列三个命题：(1)若点C在线段AB上,则

71、

72、AC

73、l+IICBll二

74、

75、AB

76、

77、;⑵在ZABC中,若ZC=90°，则

78、

79、AC

80、

81、2+

82、

83、CB

84、

85、2=

86、

87、AB

88、

89、2;⑶在AABC^,llACll+1

90、CB

91、

92、>

93、

94、AB

95、

96、.英中说法正确的个数为()A.0B.1C.2D.3思路解析：在坐标平面上取儿个具体的符合条件的点并写出其坐标，进

97、行观察、比较、分析、综合，不难确定命题的真假.不妨取直角坐标系中x非负半轴上的三点A(0,0),C(c,O),B(b,0),0

98、AC

99、

100、+

101、

102、CB

103、

104、=c+(b-c)=b=

105、

106、AB

107、

108、;另外在ZABC中,若ZC=90°，取C(0,0),B(l,0),A(0,2),则

109、

110、AC

111、

112、二2,

113、

114、BC

115、

116、二1,

117、

118、AB

119、

120、二3,

121、AC

122、

123、2+

124、

125、CB

126、

127、V

128、

129、AB

130、

131、2,fi

132、

133、AC

134、

135、+

136、

137、CB

138、

139、=

140、

141、AB

142、

143、.所以⑵与⑶都不正确.答案：B黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算(操作)上的失误.对平面上两点之

144、间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识.变式训练（2006陕西高考卷，理9）己知非零向量AB与AC满足（abACAC・BC=04RAC1且丝_•=则AABC为()AB

145、AC

146、2A.三边均不相等的三