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《高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积例题与探究 新人教a版必修4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4平面向量的数量积典题精讲例1若向量a、b、c满足a+b+c=0,且
2、a
3、=3,
4、b
5、=1,
6、c
7、=4.则a·b+b·c+a·c=_____________思路解析:本题可以利用数量积公式两边平方求解;也可由已知条件,先得出三个向量之间的两两夹角,再用数量积公式.方法一:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0,∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a2+b2+c2)=-(
8、a
9、2+
10、b
11、2+
12、c
13、2)=-(32+12+42)=-26,∴a·b+b·c+a·c=-13.方法二:根据已知条件可知
14、c
15、=
16、a
17、+
18、b
19、
20、,c=-a-b,所以a与b同向,c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.答案:-13绿色通道:方法一是将“(a+b)2=a2+2a·b+b2”推广到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c予以解答.变式训练已知
21、a
22、=5,
23、b
24、=12,当且仅当m为何值时,向量a+mb与a-mb互相垂直?思路分析:(a+mb)⊥(a-mb)(a+mb)·(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解:若向量a+mb与a-mb互相垂直,则有(a+mb)·(a-mb)
25、=0.∴a2-m2b2=0.∵
26、a
27、=5,
28、b
29、=12,∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.∴m=±.∴当且仅当m=±时,向量a+mb与a-mb互相垂直.例2(福建高考卷,理11)已知
30、
31、=1,
32、
33、=,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°.设=m+n(m、n∈R),则等于()A.B.3C.D.思路分析:本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解.深刻理解向量的运算,做到灵活运用,使解题简便.方法一:以直线OA、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(1,0),B(0,).设=λ(cos30°,sin30°)=(λ,
34、λ),另外=m+n=m(1,0)+n(0,),得(λ,λ)=(m,n)方法二:=(m+n)2=m2+n2=m2+3n2,∴
35、
36、=.由已知得∠BOC=60°,在等式=m+n(m、n∈R)两端同乘以,得·=m,∴m=
37、
38、·
39、
40、cos30°=m2=9n2.由题设知m>0,n>0,所以=3.答案:B黑色陷阱:对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练,易导致难寻问题的切入口;有关向量的运算失误也易导致解答失误.变式训练(2006福建高考卷,文9)已知向量a与b的夹角为120°,
41、a
42、=3,
43、a+b
44、=,则
45、b
46、等于()A.5B.4C.3D.1思路解析:向量a与b的夹角为1
47、20°,
48、a
49、=3,
50、a+b
51、=,a·b=
52、a
53、·
54、b
55、·cos120°=-
56、b
57、,
58、a+b
59、2=
60、a
61、2+2a·b+
62、b
63、2,∴13=9-3
64、b
65、+
66、b
67、2,则
68、b
69、=-1(舍去)或
70、b
71、=4.答案:B例3(福建高考卷,理12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:
72、
73、AB
74、
75、=
76、x2-x1
77、+
78、y2-y1
79、.给出下列三个命题:(1)若点C在线段AB上,则
80、
81、AC
82、
83、+
84、
85、CB
86、
87、=
88、
89、AB
90、
91、;(2)在△ABC中,若∠C=90°,则
92、
93、AC
94、
95、2+
96、
97、CB
98、
99、2=
100、
101、AB
102、
103、2;(3)在△ABC中,
104、
105、A
106、C
107、
108、+
109、
110、CB
111、
112、>
113、
114、AB
115、
116、.其中说法正确的个数为()A.0B.1C.2D.3思路解析:在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标,进行观察、比较、分析、综合,不难确定命题的真假.不妨取直角坐标系中x非负半轴上的三点A(0,0),C(c,0),B(b,0),0<c<b,由题设,可得
117、
118、AC
119、
120、+
121、
122、CB
123、
124、=c+(b-c)=b=
125、
126、AB
127、
128、;另外在△ABC中,若∠C=90°,取C(0,0),B(1,0),A(0,2),则
129、
130、AC
131、
132、=2,
133、
134、BC
135、
136、=1,
137、
138、AB
139、
140、=3,但
141、
142、AC
143、
144、2+
145、
146、CB
147、
148、2≠
149、
150、AB
151、
152、2,且
153、
154、AC
155、
156、+
157、
158、CB
159、
160、
161、=
162、
163、AB
164、
165、.所以(2)与(3)都不正确.答案:B黑色陷阱:对题设理解不够准确,易导致运算(操作)上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义,易引起考生理解上的困难,这时更需要独立思考与一定的创新意识.变式训练(2006陕西高考卷,理9)已知非零向量与满足()·=0且=,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形思路解析:非零向量与满足()·=0,即角A的平分线垂直于BC,∴AB=AC.又cosA==,∴∠A=,所以△ABC为等边三角形.答案:D问题探究问题1任给8个非零实数a1,a2,…,a8,试探究下列六个数a
166、1a3+a2a4,a1a