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《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角导学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系．平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：坐标表示数量积a·b＝__________模
2、a
3、＝__________或
4、a
5、2＝__________设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
6、
7、＝______________垂直a⊥ba·b＝0______________＝0夹角cosθ＝＝_____
8、_____________已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若a∥bx1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0.若a⊥bx1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相等，垂直横横纵纵积相反．【做一做1－1】向量m＝(1,0)，n＝(2，－5)，则m·n等于( )A．－2B．0C．2D．7【做一做1－2】已知＝(3，－4)，则
9、
10、等于( )A．3B．4C.D．5【做一做1－3】若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是( )A．12B．3C．－3D
11、．－12【做一做1－4】已知a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角θ＝__________.答案：x1x2＋y1y2 x＋y x1x2＋y1y2 【做一做1－1】C m·n＝1×2＋0×(－5)＝2.【做一做1－2】D
12、
13、＝＝5.【做一做1－3】D ∵a⊥b，∴4×6＋2m＝0，解得m＝－12.【做一做1－4】
14、a
15、＝＝3，
16、b
17、＝＝5，a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，则cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝，即a与b的夹角为.1．投影的坐标表示剖析：由于向量b＝(x2，y2)在向量a＝(x1，y1)方向上的投影为
18、b
19、·co
20、sθ＝＝(θ为a与b的夹角)，从而向量b在向量a方向上的投影的坐标表示为.同理可得，向量a在向量b方向上的投影的坐标表示为
21、a
22、cosθ＝＝＝.2．向量数量积性质的坐标表示剖析：设两个非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a与b的夹角为θ.(1)a·b＝a1b1＋a2b2；(2)a⊥ba1b1＋a2b2＝0；(3)a·a＝
23、a
24、2
25、a
26、＝；(4)cosθ＝cosθ＝；(5)
27、a·b
28、≤
29、a
30、
31、b
32、
33、a1b1＋a2b2
34、≤·.在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式a·b＝a1b1＋a2b2以及相关的向量的长度公式
35、和夹角公式．在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义可使问题快速得解．题型一数量积的坐标运算【例1】已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．分析：先求出a·b，a2，b2，再对(3a－b)·(a－2b)展开求解．反思：对于数量积的坐标运算有两种方法：一是先化简再代入向量的坐标，二是先确定向量的坐标，再计算数量积．题型二垂直问题【例2】已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( )A．9B．4C．0D．－4反思：有关向量垂直
36、的问题，通常利用它们的数量积为0来解决．本题也可先求出a－b的坐标，再代入a·(a－b)＝0解得x.题型三夹角问题【例3】已知a＝(，1)，b＝(2,2)．(1)求a·b；(2)求a与b的夹角θ.分析：(1)直接用公式a·b＝x1x2＋y1y2即可；(2)直接用cosθ＝求解．反思：利用坐标求两向量夹角的步骤为：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；(2)利用
37、a
38、＝计算出这两个向量的模；(3)由公式cosθ＝直接求出cosθ的值；(4)在0≤θ≤π内，由cosθ的值求角θ.【例4】已知△ABC中，A(2，－2)，B(5,1)
39、，C(1,4)，求∠BAC的余弦值．分析：∠BAC是和的夹角，转化为求向量的夹角问题．反思：已知三角形各顶点坐标求其内角时，可转化为求向量的夹角问题．题型四易错辨析【例5】已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A．(－∞，－2)∪ B.C.∪ D.错解：∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ＞0，即a·b＝1－2λ＞0，得λ＜，故选D.错因分析：以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如当a与b同向时，即a与b的夹角θ＝0°时cosθ＝1＞0，此时λ＝－2，显然是不合理的．反思：对非零向量a
40、与b，设其夹角为θ，则θ为锐角cosθ＞0且cosθ≠1a·b＞0且a≠mb(m＞0)；θ为钝角cosθ＜0
