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《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课堂导学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课堂导学三点剖析1.两个向量数量积的坐标表示【例1】已知向量a=(4,3),b=(-1,2).(1)求a与b的夹角θ的余弦值；（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值.解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,又∵
2、a
3、==5,
4、b
5、=,∴cosθ=.(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).∵(a-λb)⊥(2a+b),∴(a-λb)·(2a+b)=0.∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.∴λ=.温馨提示运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式.2.数量积坐标表示的应用【例2】已
6、知a、b是两个非零向量，同时满足
7、a
8、=
9、b
10、=
11、a-b
12、,求a与a+b的夹角.思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到a·b与a的关系.
13、a+b
14、与
15、a
16、的关系即可解决.解法1：根据
17、a
18、=
19、b
20、,有
21、a
22、2=
23、b
24、2.又由
25、b
26、=
27、a-b
28、,得
29、b
30、2=
31、a
32、2-2a·b+
33、b
34、2,∴a·b=
35、a
36、2.而
37、a+b
38、2=
39、a
40、2+2a·b+
41、b
42、2=3
43、a
44、2,∴
45、a+b
46、=
47、a
48、.设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=.∴θ=30°解法2：设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).∵
49、a
50、=
51、b
52、,∴x12+y12=x22+y22.由
53、b
54、=
55、a-
56、b
57、,得x1x2+y1y2=(x12+y12).即a·b=(x12+y12).由
58、a+b
59、2=2(x12+y12)+2×(x12+y12)=3(x12+y12),得
60、a+b
61、=.设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=.∴θ=30°.解法3：根据向量加法的几何意义，作图如右图在平面内任取一点O，作=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB.∵
62、a
63、=
64、b
65、,即
66、
67、=
68、
69、，∴平行四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB.这时=a+b，=a-b.而
70、a
71、=
72、b
73、=
74、a-b
75、,即
76、
77、=
78、
79、=
80、
81、.∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°.于是∠AOC=30°,即a与a+b的夹角为30°
82、.温馨提示基于平面向量的表示上的差异,也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同解法.对于本题的三种解法都要认真理解.3.平面向量数量积坐标表示的综合应用【例3】已知A（2，1），B（3，2），D（-1，4）.（1）求证：⊥；（2）若四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值.思路分析：本题主要考查向量垂直的等价条件及夹角公式.要证明⊥，只需证·=0.在⊥的前提下，只要找点C使=.(1)证明：∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3),又·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥.(2)解：∵四边形ABCD为矩形且
83、AB⊥AD，∴=.设点C的坐标为（x,y）,则（-3，3）=（x-3,y-2）,∴∴∴点C坐标为（0,5）.又∵=（-2，4），=（-4，2），∴·=（-2）×(-4)+4×2=16,而
84、
85、=，
86、
87、=.设与的夹角为θ，则cosθ=.∴该矩形两对角线所成锐角的余弦值为.温馨提示(1)注意区分两向量平行与垂直的条件.(2)向量的运算可以用坐标表示，向量中的位置关系（平行和垂直）也可用坐标表示，向量中的度量（模长和夹角）也可用坐标表示，而且使用起来非常方便，所以同学们要熟练掌握利用坐标法解决有关问题.各个击破类题演练1已知a=(k,-2),b=(2k,k+1),求实数k的值,使a
88、⊥b.解：(1)∵a⊥b,∴a·b=0.∴k·2k+(-2)(k+1)=0,k2-k-1=0.∴k=.变式提升1（2005重庆文，4）设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则（a·b)(a+b）等于（）A.（1，1）B.（-4，-4）C.-4D.（-2，-2）解析：（a·b)(a+b）=［-1×2+2×（-1）］（-1+2，2-1）=-4（1，1）=（-4，-4）.答案：B类题演练2已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π),求证：a+b与a-b互相垂直.证法1：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),∴(a+b)=
89、(cosα+cosβ,sinα+sinβ),(a-b)=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).又（a+b)·(a-b）=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0,∴(a+b)⊥(a-b).证法2：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),∴
90、a
91、2=cos2α+sin2α=1,
92、b
93、2=cos2β+sin2β=1.∴
94、a
95、2=
96、b
97、2.∴(a+b)(a-b)=a2-b2=
98、a
99、2-
100、b
101、2=0
