资源描述：
《高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积课时训练 新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、平面向量数量积的物理背景及其含义1．平面向量数量积的物理背景物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与位移之间的夹角.而力与位移都是矢量，这说明两个也可以进行运算.2．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的(innerproduct)(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.我们规定，零向量与任一向量的
2、数量积为0.（2）投影的概念设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的(projection).如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的.3．平面向量数量积的性质与运算律（1）平面向量数量积的性质由向量数量积的定义，设都是非零向量，则有：①；②或；③当与同向时,；当与反向时,；④,其中是非零向量与的夹角；⑤，当且仅当向量共线,即时
3、等号成立.（2）平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律：已知向量和实数,则①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：.（3）两个结论①；②.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设分别是x轴，y轴上的单位向量.由于向量分别等价于，根据向量数量积的运算，有，由于为正交单位向量，故,，从而.即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的.2．平面向量的模的坐标表示（1）平面向量的模的坐标公式若向量，由于，所以.其含义是：
4、向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.（2）平面内两点间的距离公式已知原点，点，则，于是.其含义是：向量的模等于A,B两点之间的距离.3．平面向量垂直的坐标表示已知非零向量，则.4．平面向量夹角的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则.参考答案：一、1．矢量2．（1）数量积（2）投影（3）乘积3．（1）（2）（3）二、1．和2．（1）（2）3．4．重点：向量的数量积、模、夹角.难点：数量积的综合应用.易错：对向量的夹角、向量共线等理解不正确导致错误．1.重点——平面向量数量积的概念下列判断：①，则；②已知是三个非零向量，若，则；③共线；④；⑤；⑥非零向量
5、满足：，则与的夹角为锐角；⑦若的夹角为，则表示向量在向量方向上的投影长.其中正确的是.【答案】①②【解析】由于,所以若,则,故①正确；若，则,又是三个非零向量，所以,所以,②正确；共线,所以③错;对于④，应有，所以④错;对于⑤,应该是,所以⑤错；当的夹角为0°时，也有,因此⑥错;表示向量在向量方向上的投影，而非投影长，故⑦错.综上可知①②正确.【归纳总结】对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等.2.重点——求向量
6、的数量积、投影、模、夹角（1）已知单位向量e1，e2的夹角为α，且，若向量a=3e1－2e2，则
7、a
8、=________.（2）已知，则向量在方向上的投影为________.（3）若,且,则向量与的夹角为________.（4）已知,与的夹角为120°,则________.【答案】（1）3；（2）；（3）120°；（4）.【解析】（1）因为a2=(3e1−2e2)2=9−2×3×2×cosα＋4=9，所以
9、a
10、=3.（2）因为，所以在方向上的投影为.（3）由,得,又,所以,即,设向量与的夹角为θ，则,所以θ=120°,即向量与的夹角为120°.（4）.【
11、名师点评】（1）已知向量的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求与的夹角.（2）求较复杂的数量积运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.3.重点——平面向量的坐标运算（1）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，则x=________.（2）已知向量a=(m,4)，b=(3,−2)，且a∥b，则m=________.（3）已知向量,则________.（4）设平面向量，若，则等于________.【答案】（1）；（2）；（3）30°；（4）.【解析】（1）由题意，得（2）因为a∥b，所以，解得.（3）由题意，得，
12、所以．（4）因为，所以，解得从而=(1,2),.【名师点睛】（1）进行向量的数量
