高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律课堂探究学案新人教b版必修4

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1、2.3.2向量数量积的运算律课堂探究探究一向量数量积的计算求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a2＝

2、a

3、2；(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件．【例1】已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求：(1)e1·e2；(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；(3)(e1＋e2)2．解：(1)e1

4、·e2＝

5、e1

6、

7、e2

8、cos60°＝．(2)由(1)可知e1·e2＝，

9、e1

10、＝

11、e2

12、＝1，所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6＋3e2·e1＋4e1·e2－2＝－6

13、e1

14、2＋3×＋4×－2

15、e2

16、2＝－6＋－2＝－．(3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2)＝＋e1·e2＋e2·e1＋＝＋2e1·e2＋＝1＋1＋1＝3．误区警示利用(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2时，不要将式中的a·b写成

17、a

18、

19、b

20、．探究二求向量的模利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2＝a·a＝

21、a

22、2或

23、a

24、＝；(2)

25、a±b

26、＝＝．【例2

27、】已知向量a，b满足

28、a

29、＝

30、b

31、＝1，且

32、3a－2b

33、＝3，求

34、3a＋b

35、的值．分析：通过数量积a·b来探求已知条件

36、3a－2b

37、＝3与目标式

38、3a＋b

39、之间的关系．解：因为

40、a

41、＝

42、b

43、＝1，所以

44、a

45、2＝

46、b

47、2＝1．又因为

48、3a－2b

49、＝3，所以(3a－2b)2＝9，所以9

50、a

51、2－12a·b＋4

52、b

53、2＝9，将

54、a

55、2＝

56、b

57、2＝1，代入有a·b＝，而(3a＋b)2＝9

58、a

59、2＋6a·b＋

60、b

61、2＝9＋6×＋1＝12，所以

62、3a＋b

63、＝．探究三向量在几何中的应用向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用，将几何问题转化为向量问题是极其关键的一步，同时注意向量的数量积及向量

64、的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如，向量的夹角与直线的夹角．【例3】在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE．证明：如图．·=(+)·(+)=·+·+·+·=-＋·＋·＝－＋

65、

66、·

67、

68、·＋

69、

70、·

71、

72、·＝－＋

73、

74、··

75、

76、·＋

77、

78、··

79、

80、·＝－＋＋＝0，所以⊥，即AD⊥CE．【例4】△ABC三边长为a，b，c，以A为圆心，r为半径作圆，如图所示，PQ为直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值？分析：由三角形法则构造与的数量积，然后转化为在实数范围内求最大值．解：因为＝－，＋＝，即＝

81、－－＝－－，所以·＝(－)·(－－)＝－·＋·－＋·＝·－r2＋·(－)＝·－r2＋·＝

82、

83、·

84、

85、cos∠BAC－r2＋·＝bccos∠BAC－r2＋·．当与同向时，·最大且最大值为

86、

87、·

88、

89、＝ra．即当与共线且同方向时，·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2．探究五易错辨析易错点：向量与实数的混用【例5】已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直．求a与b的夹角．错解：由题意，得即①－②得46a·b＝23b2．因为b≠0，所以a＝，把它代入②得a2＝b2，则

90、a

91、＝

92、b

93、，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°

94、．错因分析：在求出2a·b＝b2之前是正确的，此式子说明a·b与是两个相等的数，两边同时约去b，即两边同除以b是错误的，因为向量没有除法，结果正确只是巧合．正解：因为a＋3b与7a－5b垂直，所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7

95、a

96、2＋16a·b－15

97、b

98、2＝0．同理由a－4b与7a－2b垂直可得7

99、a

100、2－30a·b＋8

101、b

102、2＝0，则①－②得46a·b＝23

103、b

104、2，所以a·b＝，代入①得

105、a

106、2＝

107、b

108、2．所以

109、a

110、＝

111、b

112、．设a，b夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以θ＝60°．