高中数学 2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律优化训练 新人教b版必修4

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1、2.3.2向量数量积的运算律5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.有下面四个关系式：①0·0=0；②(a·b)c=a(b·c)；③a·b=b·a；④0a=0.其中正确的个数是…（）A.4B.3C.2D.1解析：只有③是正确的.①错，因为数量积的结果是数量而不是向量；②错，因为数量积不满足结合律；④错，因为实数与向量的积结果应是向量.答案：D2.已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面的向量中与2e2-e1垂直的是（）A.e1+e2B.e1-e2C.e1D.e2解析：依题意，

2、e1

3、2=

4、e2

5、2=1，θ=，∴e1·e2=

6、e1

7、

8、e2

9、cosθ

10、=.对于A，(e1+e2)·(2e2-e1)=2e22-e12+e1·e2=；对于B，(e1-e2)·(2e2-e1)=-2e22-e12+3e1·e2=；对于C，e1·(2e2-e1)=2e1·e2-e12=0；对于D，e2·(2e2-e1)=2e22-e1·e2=.∴e1⊥(2e2-e1).答案：C3.已知

11、a

12、=

13、b

14、=5，向量a与b的夹角为，则

15、a+b

16、、

17、a-b

18、的值分别为___________、___________.解析：依题意得a2=

19、a

20、2=25，b2=

21、b

22、2=25.a·b=

23、a

24、

25、b

26、cosθ=5×5×cos=.∴

27、a+b

28、=.

29、同理,

30、a-b

31、==5.答案：54.已知

32、a

33、=6，

34、b

35、=4，a与b的夹角为60°，则(a+2b)·(a-3b)=___________.解：(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=

36、a

37、2-a·b-6

38、b

39、2=

40、a

41、2-

42、a

43、

44、b

45、cosθ-6

46、b

47、2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.答案：-7210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.关于向量a、b，下列命题中正确的是（）A.a-b=a+(-b)B.a-a=0C.

48、a-b

49、＞

50、a

51、-

52、b

53、D.a∥b存在唯一的λ∈R，使b=λa解析：向量的和与差仍是向量，因此B是错误

54、的，应改为a-a=0.根据向量减法的三角形法则，当非零向量a与b不共线时，

55、a-b

56、＞

57、a

58、-

59、b

60、；当a与b同向或a，b中有一个为0时，

61、a-b

62、=

63、

64、a

65、-

66、b

67、

68、，因此C不正确；D是在判断两向量平行时最常见的错误，它成立的前提是a≠0.答案：A2.向量m和n满足

69、m

70、=1，

71、n

72、=2，且m⊥(m-n)，则m与n夹角的大小为（）A.30°B.45°C.75°D.135°解析：设m与n夹角为θ，则由m⊥(m-n)，知m·(m-n)=0，m2-m·n=0，∴m·n=m2=

73、m

74、2=1.∴cosθ=.∴θ=45°.答案：B3.已知非零向量a、b、c两两

75、夹角相等，且

76、a

77、=

78、b

79、=

80、c

81、=1，则

82、a+b+c

83、等于（）A.0B.1C.3D.0或3解析：a、b、c两两夹角相等有两种情形：夹角为0°(即三个向量同向)和夹角为120°.答案：D4.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且

84、a

85、=3，

86、b

87、=1，

88、c

89、=4，则a·b+b·c+c·a=___________.解析：解法一：根据已知条件，知

90、c

91、=

92、a

93、+

94、b

95、，c=-a-b，从而可知a与b同向，c与a、b反向.所以有a·b+b·c+c·a=3×1×cos0°+1×4×cosπ+4×3×cosπ=3-4-12=-13.解法二：因为(a+b+c)2=

96、a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)，所以a·b+b·c+c·a===-13.答案：-135.已知

97、a

98、=4，

99、b

100、=5，且a，b夹角为60°.求值：(1)a2-b2；(2)(2a+3b)·(3a-2b).解：(1)a2-b2=

101、a

102、2-

103、b

104、2=42-52=-9;(2)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2=6×16+5×4×5cos60°-6×25=-4.6.在△ABC中，若·=·=·，那么点O是△ABC的什么特殊点？解：如图，由·=·,得·(-)=0，·=0.∴⊥即OB⊥CA.同理,OC⊥AB.⊥BC.∴O为△ABC

105、的垂心.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.以下等式中恒成立的有（）①

106、a·b

107、=

108、a

109、

110、b

111、②(a·b)2=a2·b2③

112、a

113、=④a2-2b2=(a-b)·(a+b)A.1个B.2个C.3个D.4个解析：对于①，

114、a·b

115、=

116、a

117、

118、b

119、

120、cosθ

121、≤

122、a

123、

124、b

125、，仅当θ=0°或180°时或b=0或a=0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的内积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确.答案：B2.若a+b=c，a-b=d，且c⊥d，则一定有()A.a=bB.

126、a

127、=

128、b

129、C.a⊥bD.

130、a

131、=

132、b

133、且a⊥b解

134、析：∵c⊥d，∴(a+b)·(a-b)=0.∴a2-b2=0,即

135、a

136、=

137、b

138、，故应选B.答案：B3.(20