高中数学2.3的数量积2.3.2向量数量积的运算律优化训练

高中数学2.3的数量积2.3.2向量数量积的运算律优化训练

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1、2.3.2向量数量积的运算律5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.有下面四个关系式:①0·0=0;②(a·b)c=a(b·c);③a·b=b·a;④0a=0.其中正确的个数是…()A.4B.3C.2D.1解析:只有③是正确的.①错,因为数量积的结果是数量而不是向量;②错,因为数量积不满足结合律;④错,因为实数与向量的积结果应是向量.答案:D2.已知e1和e2是两个单位向量,夹角为,则下面的向量中与2e2-e1垂直的是()A.e1+e2B.e1-e2C.e1D.e2解析:依题意,

2、e1

3、2=

4、e2

5、2=1,θ=,∴e1·e2=

6、e1

7、

8、e2

9、cosθ=.对于A,(e1+e2)·(2e2-e1

10、)=2e22-e12+e1·e2=;对于B,(e1-e2)·(2e2-e1)=-2e22-e12+3e1·e2=;对于C,e1·(2e2-e1)=2e1·e2-e12=0;对于D,e2·(2e2-e1)=2e22-e1·e2=.∴e1⊥(2e2-e1).答案:C3.已知

11、a

12、=

13、b

14、=5,向量a与b的夹角为,则

15、a+b

16、、

17、a-b

18、的值分别为___________、___________.解析:依题意得a2=

19、a

20、2=25,b2=

21、b

22、2=25.a·b=

23、a

24、

25、b

26、cosθ=5×5×cos=.∴

27、a+b

28、=.同理,

29、a-b

30、==5.答案:54.已知

31、a

32、=6,

33、b

34、=4,a与b的夹角为60°

35、,则(a+2b)·(a-3b)=___________.解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=

36、a

37、2-a·b-6

38、b

39、2=

40、a

41、2-

42、a

43、

44、b

45、cosθ-6

46、b

47、2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.答案:-7210分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.关于向量a、b,下列命题中正确的是()A.a-b=a+(-b)B.a-a=0C.

48、a-b

49、>

50、a

51、-

52、b

53、D.a∥b存在唯一的λ∈R,使b=λa解析:向量的和与差仍是向量,因此B是错误的,应改为a-a=0.根据向量减法的三角形法则,当非零向量a与b不共线时,

54、a-b

55、>

56、a

57、-

58、b

59、;5当a与b同向或a,b中

60、有一个为0时,

61、a-b

62、=

63、

64、a

65、-

66、b

67、

68、,因此C不正确;D是在判断两向量平行时最常见的错误,它成立的前提是a≠0.答案:A2.向量m和n满足

69、m

70、=1,

71、n

72、=2,且m⊥(m-n),则m与n夹角的大小为()A.30°B.45°C.75°D.135°解析:设m与n夹角为θ,则由m⊥(m-n),知m·(m-n)=0,m2-m·n=0,∴m·n=m2=

73、m

74、2=1.∴cosθ=.∴θ=45°.答案:B3.已知非零向量a、b、c两两夹角相等,且

75、a

76、=

77、b

78、=

79、c

80、=1,则

81、a+b+c

82、等于()A.0B.1C.3D.0或3解析:a、b、c两两夹角相等有两种情形:夹角为0°(即三个向量同向)和夹角

83、为120°.答案:D4.若向量a、b、c满足a+b+c=0,且

84、a

85、=3,

86、b

87、=1,

88、c

89、=4,则a·b+b·c+c·a=___________.解析:解法一:根据已知条件,知

90、c

91、=

92、a

93、+

94、b

95、,c=-a-b,从而可知a与b同向,c与a、b反向.所以有a·b+b·c+c·a=3×1×cos0°+1×4×cosπ+4×3×cosπ=3-4-12=-13.解法二:因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a),所以a·b+b·c+c·a===-13.答案:-135.已知

96、a

97、=4,

98、b

99、=5,且a,b夹角为60°.求值:(1)a2-b2;(2)(2a+3b)·(3a-

100、2b).解:(1)a2-b2=

101、a

102、2-

103、b

104、2=42-52=-9;(2)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2=6×16+5×4×5cos60°-6×25=-4.6.在△ABC中,若·=·=·,那么点O是△ABC的什么特殊点?解:如图,由·=·,得·(-)=0,·=0.∴⊥即OB⊥CA.同理,OC⊥AB.⊥BC.∴O为△ABC的垂心.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.以下等式中恒成立的有()①

105、a·b

106、=

107、a

108、

109、b

110、②(a·b)2=a2·b2③

111、a

112、=④a2-2b2=(a-b)·(a+b)A.1个B.2个C.3个D.4个5解析:对于①,

113、a·b

114、=

115、a

116、

117、b

118、

119、c

120、osθ

121、≤

122、a

123、

124、b

125、,仅当θ=0°或180°时或b=0或a=0时等号成立;对于②,实质上是依据乘法结合律进行的变形,对于向量的内积运算不适用;③和④均符合运算法则,故只有③④正确.答案:B2.若a+b=c,a-b=d,且c⊥d,则一定有()A.a=bB.

126、a

127、=

128、b

129、C.a⊥bD.

130、a

131、=

132、b

133、且a⊥b解析:∵c⊥d,∴(a+b)·(a-b)=0.∴a2-b2=0,即

134、a

135、=

136、b

137、,故应选B.答案:B3.(

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