高中数学2.3的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式优化训练

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1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断解析：由=(1，1)，=(-4，2)，=(3，-3)，得2=2，2=20，2=18.∴2+2=2，即AB2+AC2=BC2.∴△ABC为直角三角形.(本题亦可画图，验证·=3-3=0⊥)答案：B2.已知m=(3，-1)，n=(x，-2)，且〈m，n〉=，则x等于（）A.1B.-1C.-4D.4解析：cos=，解得x=1.答案：A3.已知a=(2，5)，b=(

2、λ，-3)，且a⊥b，则λ=________________.解析：∵a⊥b，∴a·b=0，即2λ-15=0，λ=.答案：4.设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，则满足+=的坐标(O为原点)为_________________.解：设=(x，y)，则=(x+3，y+1)，=-=(x+4，y-1).∵⊥，∴-(x+3)+2(y+1)=0，即x-2y+1=0.①又∵∥，∴3(y-1)-(x+4)=0，即x-3y+7=0.②由①②得x=11，y=6.∴=(11，6).答案：(11，6)10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a=(m-2，m+3)，

3、b=(2m+1，m-2)，且a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围为（）A.m＞2或m＜B.＜m＜25C.m≠2D.m≠2且m≠解析：a与b夹角大于90°a·b＜0，a·b=(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)=3m2-2m-8,解不等式3m2-2m-8＜0，得＜m＜2.答案：B2.(2006高考重庆卷，文7)已知三点A(2，3)，B(-1，-1)，C(6，k)，其中k为常数.若=,则与的夹角为()A.arccos()B.或arccosC.arccosD.或π-arccos解析：由于=,且=(-3，-4)，=(4，k-3)，所以16+(k-

4、3)2=25,解出k=6或0.当k=0时，·=0，其中夹角是；当k=6时，cosθ=，所以θ=π-arccos.答案：D3.已知m=(a，b)，向量n与m垂直，且m=n，则n的坐标为（）A.(b，-a)B.(-a，b)C.(-a，b)或(a，-b)D.(b，-a)或(-b，a)解析：设n的坐标为(x，y)，由m=n，得a2+b2=x2+y2,①由m⊥n，得ax+by=0,②解①②组成的方程组得得n的坐标为(b，-a)或(-b，a).答案：D4.若i=(1，0)，j=(0，1)，则与3i+4j垂直的单位向量是______________.解析：3i+4j

5、=(3，4).设与3i+4j垂直的单位向量为b=(x，y)，依题意，得故与3i+4j垂直的单位向量为ij或-i+j.答案：ij或-i+j5.已知向量x与a=(2，-1)共线，且a·x=-18，则x=_______________.5解析：设x=(2λ，-λ)，又a·x=-18.∴4λ+λ=-18.∴λ=.答案：()6.设向量a=(1，-1),b=(3，-4)，x=a+λb，λ为实数，试证：使模x最小的向量x垂直于向量b.证明：因x2=x·x=a2+λ2b2+2λa·b，故x2=25λ2+14λ+2=(5λ+)2+.当5λ+=0，即λ=时，x最小.此时x

6、=ab=().又=0，∴向量x与b垂直.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a=(-1，3)，b=(2，-1)，且(ka+b)⊥(a-2b)，则k的值为（）A.B.C.D.解析：由(ka+b)⊥(a-2b)，得(ka+b)·(a-2b)=0.而ka+b=(2-k，3k-1)，a-2b=(-5，5).故-5(2-k)+5(3k-1)=0，解得k=.答案：C2.(2006高考重庆卷，理7)与向量a=()，b=()的夹角相等，且模为1的向量是()A.()B.()或()C.（）D.（）或（）解析：设所求向量为e=(cosθ,sinθ)，由于该向量与a

7、、b的夹角相等，故a·e=b·ecosθ+sinθ=cosθsinθ3cosθ=-4sinθ,所以sinθ=且cosθ=，或sinθ=且cosθ=，所以B选项成立.答案：B3.已知点A(2，3)，若把向量绕原点O按逆时针方向旋转90°，得到向量，则B点坐标为()A.(2，-3)B.(-3，2)C.(3，-2)D.(3，2)5解析：设B(x，y)，∵⊥，=，∴(舍去)，故B点坐标为(-3，2).答案：B4.已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)四点，则四边形ABCD是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析：=(3，-2)，=(-3

8、，2)，=-，∴四边形ABCD为平行四边形.又=(4，6)，·=3×4-2×6=0，即⊥，且≠