高中数学 2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律课后训练 新人教b版必修4

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1、向量数量积的运算律1．以下等式中恒成立的有(　　)①

2、a·b

3、＝

4、a

5、

6、b

7、；②(a·b)2＝a2·b2；③

8、a

9、＝；④a2－2b2＝(a－b)·(a＋b)．A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知向量a与b的夹角为，

10、a

11、＝2，

12、b

13、＝1，那么(a－4b)2等于(　　)A．B．2C．6D．123．已知

14、a

15、＝3，

16、b

17、＝4，且(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k的值为(　　)A．B．C．D．4．已知a，b是非零向量，满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　)A．B．C．D．5．已知非零向量与满足且，则△ABC为(　　)A．三边均不相等的三角形B．直角

18、三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形6．已知a·b＝，

19、a

20、＝4，则b在a方向上的射影的数量为__________．7．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，其中i·j＝0，

21、i

22、＝

23、j

24、＝1，则a·b＝__________.8．设O，A，B，C为平面上的四个点，＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，a·b＝b·c＝c·a＝－1，则

25、a

26、＋

27、b

28、＋

29、c

30、＝__________.9．已知a，b是两个非零向量，同时满足

31、a

32、＝

33、b

34、＝

35、a－b

36、，求a与a＋b的夹角．10．设a⊥b，且

37、a

38、＝2，

39、b

40、＝1，k，t是两个不同时为零的实数．(1)若x＝a＋(t－3)b与

41、y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求出函数k＝f(t)的最小值．参考答案1．解析：对于①，

42、a·b

43、＝

44、a

45、

46、b

47、

48、cosθ

49、≤

50、a

51、

52、b

53、，仅当θ＝0°或180°时或b＝0或a＝0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的数量积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确．答案：B2．答案：D3．解析：(a＋kb)·(a－kb)＝

54、a

55、2－k2

56、b

57、2＝0，所以9＝k2×16，所以k2＝.所以k＝.答案：A4．解析：设所求夹角为θ，则由(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，得a·(a－2b)＝0，b·(b－2a)＝0.

58、∴a2＝2a·b，b2＝2a·b.∴2

59、a

60、

61、b

62、cosθ＝

63、a

64、2＝

65、b

66、2.∴cosθ＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.答案：B5．解析：由可知，∠BAC的平分线与边BC垂直．又cos∠BAC＝，所以∠BAC＝.所以△ABC为等边三角形．答案：D6．解析：∵

67、a

68、

69、b

70、cos〈a，b〉＝，又∵

71、a

72、＝4，∴

73、b

74、cos〈a，b〉＝.答案：7．解析：由解得∴a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－15

75、i

76、2－48

77、j

78、2＋56i·j＝－63＋56×0＝－63.答案：－638．解析：∵a·(a＋b＋c)＝a·0＝0，∴a·a＋a·b＋a·c＝0.又∵a·b＝b·c＝

79、c·a＝－1，∴a·a－1－1＝0，∴

80、a

81、＝.同理

82、b

83、＝

84、c

85、＝，∴

86、a

87、＋

88、b

89、＋

90、c

91、＝.答案：9．解：∵

92、a

93、＝

94、a－b

95、，∴

96、a

97、2＝

98、a－b

99、2＝

100、a

101、2－2a·b＋

102、b

103、2.又∵

104、a

105、＝

106、b

107、，∴a·b＝

108、a

109、2.又

110、a＋b

111、＝，设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝.又∵θ∈[0，π]，∴，即a与a＋b的夹角为.10．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.∵

112、a

113、＝2，

114、b

115、＝1，∴－4k＋t2－3t＝0，∴k＝(t2－3t)(

116、t≠0)，即k＝f(t)＝(t2－3t)(t≠0)．(2)由(1)知k＝f(t)＝(t2－3t)＝，故函数k＝f(t)的最小值为.