高中数学 第二章 平面向量 平面向量的数量积学习过程 新人教a版必修4

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1、平面向量的数量积学习过程知识点一：平面向量的数量积（1）定义：：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量

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5、cosq叫与的数量积，记作×，即有×=

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9、cosq，（０≤θ≤π）（2）.并规定与任何向量的数量积为0.（3）投影：“投影”的概念：作图①定义：

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11、cosq叫做向量在方向上的投影.②投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

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13、；当q=180°时投影为-

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15、.（4）两个向量的数量积与向量同实数积的区别①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.当0°≤＜

16、90°时，×＞0；当=90°时，×=0；当90°＜≤180°时，×＜0.②两个向量的数量积称为内积，写成×；.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.③在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若，且×=0，不能推出.因为其中cosq有可能为0.（5）平面向量的数量积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影

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18、cosq的乘积.注意：在方向上投影可以写成（6）平面向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，①^Û×=0②当与同向时，×=

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22、；当与反向时，×=-

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26、.特别的×=

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28、2或③④cosq=，利用这一关系，可求两

29、个向量的夹角。（7）平面向量数量积的运算律①．交换律：②．数乘结合律：()×=(×)=×()③．分配律：(+)×=×+×说明：①一般地，(·)·≠·（·）②·＝·，≠0＝③有如下常用性质：（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·知识点二：平面两向量数量积的坐标表示（1）已知两个非零向量，则·，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。（2）向量模的坐标表示①设，则.②如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（3）注意：若A、B，则,所以的实质是A,B的两点的距离或是线段的长度，这也是模的几何意义。（1）两个向量垂直的条件设，则^Û（2）两向量夹角的余弦公式（3

30、）设两个非零向量，是与的夹角，则有cos==学习结论（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题。（3）两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起，要注意两者的联系。典型例题例1已知与都是非零向量，且+3与7-5垂直，-4与7-2垂直，求与的夹角.解：由(+3)·(7-5)=0Þ=0①(-4)·(7-2)=0Þ②两式相减：代入①或②得：设、的夹角为q，则cosq==，又因为０≤θ≤π∴q=60°例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解析：如图：

31、平行四边形ABCD中，，，=∴

32、

33、2=而=，∴

34、=∴=2=例3.如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使ÐB=90°，求点B和向量的坐标.答案:B点坐标或；=或解析：设B点坐标(x，y)，则=(x，y)，=(x-5，y-2)∵^∴x(x-5)+y(y-2)=0即：x2+y2-5x-2y=0又∵

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36、=

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38、∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2即：10x+4y=29由∴B点坐标或；=或例4.在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.答案：k=或k=或k=解析：当A=90°时，×=0，∴2×1+3×k=0∴k=当B=90

39、°时，×=0，=-=(1-2，k-3)=(-1，k-3)∴2×(-1)+3×(k-3)=0∴k=当C=90°时，×=0，∴-1+k(k-3)=0∴k=