2014人教a版高中数学必修四 第二章 平面向量 《平面向量的数量积》学习过程

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1、平面向量的数量积学习过程知识点一:平面向量的数量积(1)定义::已知两个非零向量与,它们的夹角是θ,则数量

2、

3、

4、

5、cosq叫与的数量积,记作×,即有×=

6、

7、

8、

9、cosq,(0≤θ≤π)(2).并规定与任何向量的数量积为0.(3)投影:“投影”的概念:作图①定义:

10、

11、cosq叫做向量在方向上的投影.②投影也是一个数量,不是向量;当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q=0°时投影为

12、

13、;当q=180°时投影为-

14、

15、.(4)两个向量的数量积与向量同实数积的区别①两个向量的数量积是一个实数,

16、不是向量,符号由cosq的符号所决定.当0°≤<90°时,×>0;当=90°时,×=0;当90°<≤180°时,×<0.②两个向量的数量积称为内积,写成×;.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.③在实数中,若a¹0,且a×b=0,则b=0;但是在数量积中,若,且×=0,不能推出.因为其中cosq有可能为0.(5)平面向量的数量积的几何意义:数量积×等于的长度与在方向上投影

17、

18、cosq的乘积.注意:在方向上投影可以写成(6)平面向量的数量积的性质:设、为两个非零向量,①^Û×=0②当与同向时,

19、×=

20、

21、

22、

23、;当与反向时,×=-

24、

25、

26、

27、.特别的×=

28、

29、2或③④cosq=,利用这一关系,可求两个向量的夹角。(7)平面向量数量积的运算律①.交换律:②.数乘结合律:()×=(×)=×()③.分配律:(+)×=×+×说明:①一般地,(·)·≠·(·)②·=·,≠0=③有如下常用性质:(+)(+)=·+·+·+·知识点二:平面两向量数量积的坐标表示(1)已知两个非零向量,则·,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。(2)向量模的坐标表示①设,则.②如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(3)注意:

30、若A、B,则,所以的实质是A,B的两点的距离或是线段的长度,这也是模的几何意义。(1)两个向量垂直的条件设,则^Û(2)两向量夹角的余弦公式(3)设两个非零向量,是与的夹角,则有cos==学习结论(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cosq的符号所决定.(2)数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题,均可转化为向量问题。(3)两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起,要注意两者的联系。典型例题例1已知与都是非零向量,且+3与7-5垂直,-4与7-2垂直,求与的夹角.解:由(+3)·(7-5)

31、=0Þ=0①(-4)·(7-2)=0Þ②两式相减:代入①或②得:设、的夹角为q,则cosq==,又因为0≤θ≤π∴q=60°例2求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解析:如图:平行四边形ABCD中,,,=∴

32、

33、2=而=,∴

34、=∴=2=例3.如图,以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB,使ÐB=90°,求点B和向量的坐标.答案:B点坐标或;=或解析:设B点坐标(x,y),则=(x,y),=(x-5,y-2)∵^∴x(x-5)+y(y-2)=0即:x2+y2-5x-2y=0又∵

35、

36、=

37、

38、∴x2+y2=

39、(x-5)2+(y-2)2即:10x+4y=29由∴B点坐标或;=或例4.在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k值.答案:k=或k=或k=解析:当A=90°时,×=0,∴2×1+3×k=0∴k=当B=90°时,×=0,=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∴2×(-1)+3×(k-3)=0∴k=当C=90°时,×=0,∴-1+k(k-3)=0∴k=

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