必修四⑧平面向量数量积

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1、平面向量数量积（一）主要知识：1．平面向量数量积的概念；2．平面向量数量积的性质：、；3．向量垂直的充要条件：．（二）主要方法：1．注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围；2．垂直的充要条件的应用；3．当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4．距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决．（三）平面向量的应用一个是向量在几何中的应用，一个是向量在物理中应用。（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题※相关链接※1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式来计算，二是利用来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。2、利用数量积求长度问题是数量

2、积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：〖例〗已知，与的夹角为，求：（1）；（2）。思路解析：利用平面向量数量积的定义及其运算律，可求出第（1）问；求可先求，再开方。解答：（1），∴=（2），∴（二）平面向量的垂直问题※相关链接※1、非零向量2、当向量与是非坐标形式时，要把、用已知的不共线的向量表示。注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。〖例〗已知向量，（1）求证：;（2）若存在不等于0的实数k和t，使满足试求此时的最小值。思路解析：（1）可通过求证明;（2）由得，即求出关于k，t的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值。解

3、答：（1）（2）由得：，即（三）平面向量的夹角问题※相关链接※1、当与是非坐标形式时，求与的夹角。需求得及或得出它们的关系。2、若已知与的坐标，则可直接利用公式.注：平面向量、的夹角※例题解析※〖例〗已知、都是非零向量，且+3与垂直，与垂直，求与的夹角θ。思路解析：把向量垂直转化为数量积为0联立求与的关系应用夹角公式求结果。解答：（四）向量的综合应用〖例1〗设ΔABC的外心为O，则圆O为ΔABC的外接圆，垂心为H。求证：思路解析：本题的关键是探求的联系，利用向量的三角形法则可得下一步需确定的关系，由条件O为ΔABC的外心，可延长BO交圆于O于点D，连AD、DC，利用圆周角是直角的性质可

4、证四边形ANCD为平行四边形，从而问题得以解决。解答：延长BO交圆O于D点，连AD、DC，则BD为圆O的直径，故∠BCD=∠BAD=900。又∵AE⊥BC，DC⊥BC。各AH//DC，同理DA//CH。∴四边形ANCD为平行四边形，∴。又∵∴又∵∴注：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O为外心，H为垂心，在本题中作用最大；另外，平面解析几何中的一些性质在解题中也有很大的用处。〖例2〗已知力与水平方向的夹角为30°（斜向上），的大小为50N，拉着一个重80N的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20m，问和摩擦力所做的功分别是多少？(g=10N

5、/kg).思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘积的物理含义，要先求出力，和位移的夹角，然后应用数量积公式求解。解答：设木块的位移为则，在铅垂方向上分力大小为sin30°=50×=25(N).=8×10=80(N)∴摩擦力的大小为，∴=1.1×20×(-1)=-22(J).∴所做的功分别是500J、22J。注：力在力的位移上所做的功，就是力与位移所对应两向量的数量积。故在解决此类问题时可转化为数量积的运算，据题意构造平面图形，把已知、所求各量用向量的对应量表示出来。然后结合向量的加减法及平面几何的知识求得向量的模及夹角，再利用数量积的运算公式求得力对物体所做的功。