必修四平面向量的数量积讲义

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1、b2.3平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量｜｜×｜｜×cos叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝｜｜×｜｜×cos。注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“·”不能省略，也不能也成“×”；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：00≤≤1800。（4）规定：零向量与任一向量的数量积为0，即·＝0；（5）当向量与的夹角为900时，叫与互相垂直，记作：⊥，此时：⊥·

2、＝0。2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于·＝｜｜×｜｜×cos，其中｜｜×cos叫做在方向上的投影，当为锐角时，投影为正；当为钝角时，投影为负；当就直角时，投影为0；当为0度时，投影是｜｜；当为180度时，投影为－｜｜；（2）在方向上的投影与在方向上的投影就不同的；（3））在方向上的投影值可以写成。例1：已知｜｜＝2，｜｜＝5，当（1）与夹角为300时；（2）当⊥时；（3）当当∥时；分别计算与的数量积。【解析】：（1）5；（2）0；（3）±10变式练习1：已知｜｜＝3，｜｜＝5，且与的夹角为450，则在方向上的投影是（）A：B：3C：4D：5【解析】：A变式练习2：已知｜｜＝6，｜｜

3、＝3，且·＝－12，则在方向上的投影是（）bbA：－4B：－2C：4D：2【解析】：A二、平面向量数量积的性质若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角1、·＝·＝｜｜×｜｜×cos2、⊥·＝03、若与同向，则·＝｜｜×｜｜(夹角为0度)；若反向，则·＝－｜｜×｜｜(夹角为180度)；特别地，·＝()2＝｜｜2或｜｜＝4、若是与的夹角，则cos＝5、｜·｜≤｜｜×｜｜（当与共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、·＝·2、()·＝(·)＝·()3、(＋)·＝·＋·4、(＋)·(－)＝()2－()2＝｜｜2－｜｜25、(＋)2＝｜｜2＋2×·＋｜｜2注意：（1）没有(·)·＝·(

4、·)这个运算定律；（2）·＝·，则不能得到＝；（3）若·＝0，则＝或＝或<，>＝900。例2：下列说法正确的个数_______。（1）两个向量的数量积是一个向量；（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；（3）若·＞0，则与的夹角为锐角，若·＜0，则与的夹角为钝角；（4）(·)·＝·(·)；（5）若·＝0，则＝或＝。【解析】：0个例3：已知与的夹角为1200，且｜｜＝4，｜｜＝2，则计算(－2)·(＋)bb＝________，｜＋｜＝________。【解析】：122例4：已知⊥，｜｜＝4，则·＝_______。【解析】：16变式练习1：已知｜｜＝1，·＝，(－)·(＋)＝，求（1）与的

5、夹角；（2）－与＋的夹角的余弦值。【解析】：450，︱－︱2＝，︱＋︱2＝，cos＝＝。变式练习2：已知向量、的夹角为600，且｜｜＝2，｜｜＝1，则向量与向量＋2的夹角等于（）A：1500B：900C：600D：300【解析】：cos＝＝300可用数形结合法，构成的四边形为菱形变式练习3：已知向量与向量满足，｜｜＝6，｜｜＝4，且与的夹角为600，求｜＋｜与｜－3｜。【解析】：｜＋｜＝2，｜－3｜＝6变式练习4：设四边形ABCD为平行四边形，｜｜＝6，｜｜＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝（）A：20B：15C：9D：6解析】这个地方四边形ABCD为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，

6、进而以A为坐标原点建立坐标系。由进而，，。变式练习5：已知向量与向量是两个互相垂直的单位向量，若向量满足(－)·(bb－)＝0，则｜｜的最大值是（）A：1B：2C：D：【解析】：(－)·(－)＝·－·－·－2＝0，则2＝·(＋)，则4≤[·(＋)]2＝2×(2＋2·＋2)＝22故2≤。C四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角设，为x轴、y轴方向的两个单位向量，即＝(1，0)，＝(0，1)，且与为两个非零向量，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)1、·＝1·＝1·＝0·＝x1×x2＋y1×y22、若＝(x，y)，则｜｜2＝或｜｜＝。若A＝(x1，y1)，B＝(x2，y2)，则｜｜＝3、若＝(x

7、1，y1)，＝(x2，y2)，则⊥·＝0x1×x2＋y1×y2＝0bb4、若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，与的夹角为，则cos＝例4：向量＝(1，－1)，＝(－1，2)，则·(2＋)＝（）A：－1B：0C：1D：2【解析】：C变式练习：若向量＝(x，2)，＝(2，－1)，且⊥，则｜－｜＝（）A：B：C：2D：10【解析】：B例5：若平面向量＝(4，3)，2＋＝(3，18)，则与夹角的余弦值等于（）A：B：－C：D：