必修四2.4.平面向量的数量积(教学教案~)

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1、-_2.4平面向量的数量积教案A第1课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．三、情感、态度与价值观通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解

2、题思路和探索问题的能力．教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的定义．教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学关键：平面向量数量积的定义的理解．教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．学习方法通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算．教学准备教师准备:多媒体、尺规.学生准备:练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理课中，我们学过功的概念，即如果一

3、个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：W=

4、F

5、

6、s

7、cosθ，其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）．故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念．二、主题探究，合作交流提出问题-_①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？师生活动:已知两个非零向量a与b，我们把数量

8、a

9、

10、b

11、cosθ叫做a与b的数量积（或内积）

12、，记作a·b，即a·b=

13、a

14、

15、b

16、cosθ（0≤θ≤π）．其中θ是a与b的夹角，

17、a

18、cosθ（

19、b

20、cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意:（1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a·0=0；（3）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4）当0≤θ<时cosθ>0，从而a·b>0；当<θ≤π时，cosθ<0，从而a

21、·b<0．与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律:①a·b=b·a（交换律）；②（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（数乘结合律）；③（a+b）·c=a·c+b·c（分配律）．特别是:（1）当a≠0时，由a·b=0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0．注意：已知实数a、b、c（b≠0），则ab=bca=c．但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b=b·c不能推出a=c．由上图很容易看出，虽然a·b=b·c，但a≠

22、c．对于实数a、b、c有（a·b）c=a（b·c）；但对于向量a、b、c，（a·b）c=a（b·c）不成立．这是因为（a·b）c表示一个与c共线的向量，而a（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以（a·b）c=a（b·c）不成立．提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？师生活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究．教师给出图形并作结论性的总结，提出

23、注意点“投影”的概念，如下图．-_定义：

24、b

25、cosθ叫做向量b在a方向上的投影．并引导学生思考.A.投影也是一个数量，不是向量；B.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0°时投影为

26、b

27、；当θ=180°时投影为-

28、b

29、．教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影

30、b

31、cosθ的乘积．让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．教师和学生共同总结两个向量的数

32、量积的性质:设a、b为两个非零向量，θ为两向量的夹角，e是与b同向的单位向量．A.e·a=a·e=

33、a

34、cosθ．B.a⊥ba·b=0．C.当a与b同向时，a·b=

35、a

36、

37、b

38、；当a与b反向时，a·b=-

39、a

40、

41、b

42、．特别地a·a=

43、a

44、2或

45、a

46、=．D.cosθ=．E.

47、a·b

48、≤

49、a

50、

51、b

52、．上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示，在推导过程中理解并记忆这些性质．讨论结果:①略．②向量的数量积的几何意义为数量积a·b等