必修四2.4.平面向量的数量积(教学教案~)

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1、-_2.4平面向量的数量积教案A第1课时教学目标一、知识与技能1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.三、情感、态度与价值观通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解

2、题思路和探索问题的能力.教学重点、难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学关键:平面向量数量积的定义的理解.教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.学习方法通过类比物理中功的定义,来推导数量积的运算.教学准备教师准备:多媒体、尺规.学生准备:练习本、尺规.教学过程一、创设情境,导入新课在物理课中,我们学过功的概念,即如果一

3、个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算:W=

4、F

5、

6、s

7、cosθ,其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.二、主题探究,合作交流提出问题-_①a·b的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律?师生活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量

8、a

9、

10、b

11、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)

12、,记作a·b,即a·b=

13、a

14、

15、b

16、cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a与b的夹角,

17、a

18、cosθ(

19、b

20、cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<时cosθ>0,从而a·b>0;当<θ≤π时,cosθ<0,从而a

21、·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a、b、c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a·b=b·a(交换律);②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.注意:已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由上图很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠

22、c.对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.提出问题①如何理解向量的投影与数量积?它们与向量之间有什么关系?②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗?师生活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出

23、注意点“投影”的概念,如下图.-_定义:

24、b

25、cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考.A.投影也是一个数量,不是向量;B.当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为

26、b

27、;当θ=180°时投影为-

28、b

29、.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影

30、b

31、cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数

32、量积的性质:设a、b为两个非零向量,θ为两向量的夹角,e是与b同向的单位向量.A.e·a=a·e=

33、a

34、cosθ.B.a⊥ba·b=0.C.当a与b同向时,a·b=

35、a

36、

37、b

38、;当a与b反向时,a·b=-

39、a

40、

41、b

42、.特别地a·a=

43、a

44、2或

45、a

46、=.D.cosθ=.E.

47、a·b

48、≤

49、a

50、

51、b

52、.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略.②向量的数量积的几何意义为数量积a·b等

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