高中数学第二章平面向量23平面向量的数量积知识导航学案新人教b版必修

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1、2.3平面向量的数量积知识梳理1•两个向量的夹角(1)定义：己知两个非零向量a,b(如图2-3-1所示)，作OA=a,OB=b,贝ijZAOB称为a与b的夹角，记作〈a,b).图2-3-1(2)范围：［0,兀］,并且(a,b)=

2、、A,,则向量0A在轴1上的坐标叫做向量a在轴1上的正射影(简称射彫).a在轴1上的正射影在轴1上的坐标，称作a在轴1上的数量或在轴1的方向上的数量，记作a：,a的方向与轴1的正向所成的角为()，则有a,=

3、a

4、cos0.图2-3-2⑵当0为锐角时,a,>0；当9为钝角时,a.<0；当9=0时，ab

5、a

6、；当日二口时,a.=-

7、a

8、.3.向量的数量积(内积)(1)定义：

9、a

10、

11、b

12、cos0叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a・b,即a・b=

13、a

14、

15、b

16、cos0.(2)理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可

17、以为正数、零、负数.(3)儿何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度Ia丨与b在a方向上的射影

18、b

19、cos()的乘积，或b的长度丨b丨与a在b方向上的射影

20、a

21、cos0的乘积.(4)坐标运算：已知a=(a】,b=(bbb2),则a•b=aibi+a2b2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.4.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.(1)e・a二a・e=

22、a

23、cos〈a,e)；(2)a丄b<=>a・b二0；(3)当a与b同向时,a•b=

24、a

25、

26、b

27、；当a与b反向时，a•b=-

28、

29、a

30、

31、b

32、.特别的a・a=

33、a

34、2或

35、a

36、二・(4)cos

37、a•b

38、W]a「b.2.向量数量积的运算律交换律：a•b二b•a；结合律：(入a)•b二入(a•b)=a•(Xb)(XER)；分配律：(a+b)•c=a•c+b•c.3.向量垂直的坐标表示已知a=(a】,a2),b=(bi,b2),则a丄boab+ab^Oo(a】，a2)//(-b2,bi).4.向量的长度、距离和夹角公式(度量公式)(1)向量的长度：已知a二Q,a2),则丨aI二屆.即向量的长度等于它的坐标平方和的算术

39、平方根.⑵两点间距离公式：如果Ag,yi),B(X2,y2),贝'JIAB

40、=^(x2-^)2+(y2-.(1)夹角公式：已知a=(ai,a2)»b=(bi,b2),则两个向量a、b的夹角为cos〈a,b〉aAh}+a2b^+a；Jbj+b；知识导学复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及其运算；本节的重点是向量数量枳的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.疑难突破1•向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有

41、什么区别和联系？剖析:难点是对这三种运算易混淆不清.其突破的途径是主要从定义、运算的表示方法、运算的性质、运算的结果和运算的几何意义上來分析对比.(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，其符号由夹角的大小决定；向量数乘的结果是一个向量，其长度是原向暈长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.(2)从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成a・b；考上大学后还耍学到两个向量的外积aXb,而a・b是两个向量的数量的积，因此书

42、写时耍严格区分.符号“・”在向量数量积的运算屮不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替；向量数乘的写法同单项式的写法；实数乘法的写法我们已经非常熟悉了.(3)从运算的性质上看：TT①在向量的数量积中，若a•b二0,则a=0或b=0或(a,b>=—；在向量的数乘中，若入a=0,2则入二0或a二0；在实数的乘法中，若a・b二0,则b二0.7T②在向量的数量积中，a•b=b•c=>b=0或a二c或a二c或b二0.

43、③在向量的数量积中：(a•b)cHa(b•c)；在向量的数乘中，(入m)a=X(ma)(入GR,m^R)；在实数的乘法中，有(ab)c=a(be).(4)从儿何意义上来看：在向量的数量积中，a・b的儿何意义是a的长度la丨与b在a方向上的射影

44、b

45、cos0的乘积；在向量的数乘中，Aa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小丨XI倍；在实数的乘法中，ab的几何