高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积知识导航学案新人教b版必修4

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1、2.3平面向量的数量积知识梳理1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b(如图2-3-1所示)，作=a，=b，则∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.图2-3-1(2)范围：［0,π］，并且〈a，b〉=〈b，a〉.(3)当〈a，b〉=时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.(4)当〈a，b〉=0时，a与b同向；当〈a，b〉=π时，a与b反向.2.向量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l(如图2-3-2所示)，作OA=a，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量O1A1在轴l上的坐标叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).

2、a在轴l上的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量，记作al，a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则有al=

3、a

4、cosθ.图2-3-2(2)当θ为锐角时，al＞0；当θ为钝角时，al＜0；当θ=0时，al=

5、a

6、；当θ=π时，al=-

7、a

8、.3.向量的数量积(内积)(1)定义：

9、a

10、

11、b

12、cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=

13、a

14、

15、b

16、cosθ.(2)理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数.(3)几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度｜a｜与b在a方向上的射影

17、b

18、cosθ的乘积，或b的长度｜

19、b｜与a在b方向上的射影

20、a

21、cosθ的乘积.(4)坐标运算：已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a·b=a1b1+a2b2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.4.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.(1)e·a=a·e=

22、a

23、cos〈a，e〉；(2)a⊥ba·b=0；(3)当a与b同向时，a·b=

24、a

25、

26、b

27、；当a与b反向时，a·b=-

28、a

29、

30、b

31、.特别的a·a=

32、a

33、2或

34、a

35、=.(4)cos〈a，b〉=；(5)

36、a·b

37、≤

38、a

39、

40、b

41、.5.向量数量积的运算律交换律：a·b=b·a；结合律：(λa)·b=λ(a·b)=a

42、·(λb)(λ∈R)；分配律：(a+b)·c=a·c+b·c.6.向量垂直的坐标表示已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a⊥ba1b1+a2b2=0(a1，a2)∥(-b2，b1).7.向量的长度、距离和夹角公式(度量公式)(1)向量的长度：已知a=(a1，a2)，则｜a｜=.即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.(2)两点间距离公式：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

43、AB

44、=.(3)夹角公式：已知a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，则两个向量a、b的夹角为cos〈a，b〉=.知识导学复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及

45、其运算；本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.疑难突破1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？剖析:难点是对这三种运算易混淆不清.其突破的途径是主要从定义、运算的表示方法、运算的性质、运算的结果和运算的几何意义上来分析对比.(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，其符号由夹角的大小决定；向量数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.(

46、2)从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成a·b；考上大学后还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“·”在向量数量积的运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量数乘的写法同单项式的写法；实数乘法的写法我们已经非常熟悉了.(3)从运算的性质上看：①在向量的数量积中，若a·b=0，则a=0或b=0或〈a,b〉=；在向量的数乘中，若λa=0，则λ=0或a=0；在实数的乘法中，若a·b=0，则b=0.②在向量的数量积中，a·b=b·cb=0或a=c或〈b，(a-c)〉=.在向量的数乘中，λa=λb(λ∈R

47、)a=b或a≠b；在实数的乘法中，ab=bca=c或b=0.③在向量的数量积中：(a·b)c≠a(b·c)；在向量的数乘中，(λｍ)a=λ(ｍa)(λ∈R,m∈R)；在实数的乘法中，有(ab)c=a(bc).(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度｜a｜与b在a方向上的射影

48、b

49、cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小

50、λ

51、倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是ab到数轴原点的距离等于a、b到数轴原点距离的积.2.为什么(a·b)c=a(