高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义学案 新人教b版必修4

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1、2.3.1　向量数量积的物理背景与定义基础知识基本能力1．理解平面向量数量积的含义、物理意义及其几何意义．(重点)2．掌握向量数量积的运算性质．(重点、难点)1．能识别平面向量的数量积与向量投影的关系．(易错点)2．能正确地利用数量积的运算性质解决与长度、夹角、垂直等有关的问题．(重点、难点)1．两个向量的夹角已知两个非零向量a，b(如下图所示)，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定0≤〈a，b〉≤π，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，

2、a〉．当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直．【自主测试1】在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，则〈，〉＝__________，〈，〉＝__________.答案：90°　135°2．向量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l(如下图所示)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)．该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量，记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则有

3、al＝

4、a

5、cosθ.(2)当θ为锐角时，al＞0；当θ为钝角时，al＜0；当θ＝0时，al＝

6、a

7、；当θ＝π时，al＝－

8、a

9、.名师点拨向量a在轴l上的正射影是向量a在轴l上的分向量；向量a在轴l上的数量是其正射影在轴l上的坐标，与向量a和轴l所成的角有关．【自主测试2】已知

10、p

11、＝2，

12、q

13、＝3，且p与q的夹角θ为120°，则向量p在向量q方向上的数量为__________；向量q在向量p方向上的数量为__________．解析：向量p在向量q方向上的数量为

14、p

15、cosθ＝2×cos120°＝－1.

16、同理，向量q在向量p方向上的数量为

17、q

18、cosθ＝3×cos120°＝－.答案：－1　－3．向量的数量积(内积)(1)定义：

19、a

20、

21、b

22、cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

23、a

24、

25、b

26、cos〈a，b〉．(2)理解：两个向量的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零．【自主测试3】若

27、a

28、＝3，

29、b

30、＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于(　　)A．－3B．－6C．6D．12解析：a·b＝

31、a

32、

33、b

34、cos135°＝3×4×＝－6.答案：B4．向量数量积的性质设a，b

35、为两个非零向量，e是单位向量，则有：(1)a·e＝e·a＝

36、a

37、cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0，且a·b＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝

38、a

39、2或

40、a

41、＝；(4)cos〈a，b〉＝(

42、a

43、

44、b

45、≠0)；(5)

46、a·b

47、≤

48、a

49、

50、b

51、.【自主测试4－1】若m·n≤0，则m与n的夹角θ的取值范围是(　　)A．B．C．D．答案：C【自主测试4－2】若向量a，b满足

52、a

53、＝

54、b

55、＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　)A．B．C．D．2解析：a·a＋a·b＝

56、a

57、2＋

58、a

59、

60、b

61、cos6

62、0°＝1＋＝.答案：B向量的数量积与实数的乘法的区别剖析：(1)如果两个数a，b满足ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而a·b＝0可推导出以下四种可能：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)对于数量，有实数a，b，c满足ab＝ac，且a≠0⇒b＝c.但对于向量，这种推理不正确，即a·b＝a·c，且a≠0推不出b＝c.例如，

63、a

64、＝1，

65、b

66、＝，

67、c

68、＝，a与b的夹角为，a与c的夹角为0，显然a·b＝a·c＝，但b≠c.(3)两个向量的数量积是两个向量之

69、间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，不可混淆．知识拓展(1)两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关．当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；当θ＝90°时，a·b＝0；当90°＜θ≤180°时，a·b＜0.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

70、a

71、与b在a的方向上的数量

72、b

73、cosθ的乘积．知道了数量积的几何意义，可以帮助大家正确认识向量的数量积．如：当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a

74、垂直的非零向量b，都有a·b＝0.题型一求平面向量的数量积【例题1】已知

75、a

76、＝4，

77、b

78、＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．分析：解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算．解：(1)∵a∥b，若a与b同向，则a与b的夹角θ＝0°，∴a·b＝

79、a

80、

81、b

82、cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则a与b的夹角θ＝180°，∴a·b＝

83、a

84、

85、b

86、cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2