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《高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义学案 新人教b版必修4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.1 向量数量积的物理背景与定义基础知识基本能力1.理解平面向量数量积的含义、物理意义及其几何意义.(重点)2.掌握向量数量积的运算性质.(重点、难点)1.能识别平面向量的数量积与向量投影的关系.(易错点)2.能正确地利用数量积的运算性质解决与长度、夹角、垂直等有关的问题.(重点、难点)1.两个向量的夹角已知两个非零向量a,b(如下图所示),作=a,=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉,并规定0≤〈a,b〉≤π,在这个规定下,两个向量的夹角被唯一确定了,并且有〈a,b〉=〈b,
2、a〉.当〈a,b〉=时,我们说向量a和向量b互相垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直.【自主测试1】在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,则〈,〉=__________,〈,〉=__________.答案:90° 135°2.向量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l(如下图所示),作=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则有
3、al=
4、a
5、cosθ.(2)当θ为锐角时,al>0;当θ为钝角时,al<0;当θ=0时,al=
6、a
7、;当θ=π时,al=-
8、a
9、.名师点拨向量a在轴l上的正射影是向量a在轴l上的分向量;向量a在轴l上的数量是其正射影在轴l上的坐标,与向量a和轴l所成的角有关.【自主测试2】已知
10、p
11、=2,
12、q
13、=3,且p与q的夹角θ为120°,则向量p在向量q方向上的数量为__________;向量q在向量p方向上的数量为__________.解析:向量p在向量q方向上的数量为
14、p
15、cosθ=2×cos120°=-1.
16、同理,向量q在向量p方向上的数量为
17、q
18、cosθ=3×cos120°=-.答案:-1 -3.向量的数量积(内积)(1)定义:
19、a
20、
21、b
22、cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=
23、a
24、
25、b
26、cos〈a,b〉.(2)理解:两个向量的内积是一个实数,可以等于正数、负数、零.【自主测试3】若
27、a
28、=3,
29、b
30、=4,a,b的夹角为135°,则a·b等于( )A.-3B.-6C.6D.12解析:a·b=
31、a
32、
33、b
34、cos135°=3×4×=-6.答案:B4.向量数量积的性质设a,b
35、为两个非零向量,e是单位向量,则有:(1)a·e=e·a=
36、a
37、cos〈a,e〉;(2)a⊥b⇒a·b=0,且a·b=0⇒a⊥b;(3)a·a=
38、a
39、2或
40、a
41、=;(4)cos〈a,b〉=(
42、a
43、
44、b
45、≠0);(5)
46、a·b
47、≤
48、a
49、
50、b
51、.【自主测试4-1】若m·n≤0,则m与n的夹角θ的取值范围是( )A.B.C.D.答案:C【自主测试4-2】若向量a,b满足
52、a
53、=
54、b
55、=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b等于( )A.B.C.D.2解析:a·a+a·b=
56、a
57、2+
58、a
59、
60、b
61、cos6
62、0°=1+=.答案:B向量的数量积与实数的乘法的区别剖析:(1)如果两个数a,b满足ab=0,则a与b中至少有一个为0.而a·b=0可推导出以下四种可能:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.(2)对于数量,有实数a,b,c满足ab=ac,且a≠0⇒b=c.但对于向量,这种推理不正确,即a·b=a·c,且a≠0推不出b=c.例如,
63、a
64、=1,
65、b
66、=,
67、c
68、=,a与b的夹角为,a与c的夹角为0,显然a·b=a·c=,但b≠c.(3)两个向量的数量积是两个向量之
69、间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,不可混淆.知识拓展(1)两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关.当0°≤θ<90°时,a·b>0;当θ=90°时,a·b=0;当90°<θ≤180°时,a·b<0.(2)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度
70、a
71、与b在a的方向上的数量
72、b
73、cosθ的乘积.知道了数量积的几何意义,可以帮助大家正确认识向量的数量积.如:当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为任一与a
74、垂直的非零向量b,都有a·b=0.题型一求平面向量的数量积【例题1】已知
75、a
76、=4,
77、b
78、=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.分析:解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算.解:(1)∵a∥b,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,∴a·b=
79、a
80、
81、b
82、cos0°=4×5=20;若a与b反向,则a与b的夹角θ=180°,∴a·b=
83、a
84、
85、b
86、cos180°=4×5×(-1)=-20.(2