高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义学案 新人教b版必修4

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1、2.3.1 向量数量积的物理背景与定义基础知识基本能力1.理解平面向量数量积的含义、物理意义及其几何意义.(重点)2.掌握向量数量积的运算性质.(重点、难点)1.能识别平面向量的数量积与向量投影的关系.(易错点)2.能正确地利用数量积的运算性质解决与长度、夹角、垂直等有关的问题.(重点、难点)1.两个向量的夹角已知两个非零向量a,b(如下图所示),作=a,=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉,并规定0≤〈a,b〉≤π,在这个规定下,两个向量的夹角被唯一确定了,并且有〈a,b〉=〈b,

2、a〉.当〈a,b〉=时,我们说向量a和向量b互相垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直.【自主测试1】在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,则〈,〉=__________,〈,〉=__________.答案:90° 135°2.向量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l(如下图所示),作=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则有

3、al=

4、a

5、cosθ.(2)当θ为锐角时,al>0;当θ为钝角时,al<0;当θ=0时,al=

6、a

7、;当θ=π时,al=-

8、a

9、.名师点拨向量a在轴l上的正射影是向量a在轴l上的分向量;向量a在轴l上的数量是其正射影在轴l上的坐标,与向量a和轴l所成的角有关.【自主测试2】已知

10、p

11、=2,

12、q

13、=3,且p与q的夹角θ为120°,则向量p在向量q方向上的数量为__________;向量q在向量p方向上的数量为__________.解析:向量p在向量q方向上的数量为

14、p

15、cosθ=2×cos120°=-1.

16、同理,向量q在向量p方向上的数量为

17、q

18、cosθ=3×cos120°=-.答案:-1 -3.向量的数量积(内积)(1)定义:

19、a

20、

21、b

22、cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=

23、a

24、

25、b

26、cos〈a,b〉.(2)理解:两个向量的内积是一个实数,可以等于正数、负数、零.【自主测试3】若

27、a

28、=3,

29、b

30、=4,a,b的夹角为135°,则a·b等于(  )A.-3B.-6C.6D.12解析:a·b=

31、a

32、

33、b

34、cos135°=3×4×=-6.答案:B4.向量数量积的性质设a,b

35、为两个非零向量,e是单位向量,则有:(1)a·e=e·a=

36、a

37、cos〈a,e〉;(2)a⊥b⇒a·b=0,且a·b=0⇒a⊥b;(3)a·a=

38、a

39、2或

40、a

41、=;(4)cos〈a,b〉=(

42、a

43、

44、b

45、≠0);(5)

46、a·b

47、≤

48、a

49、

50、b

51、.【自主测试4-1】若m·n≤0,则m与n的夹角θ的取值范围是(  )A.B.C.D.答案:C【自主测试4-2】若向量a,b满足

52、a

53、=

54、b

55、=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b等于(  )A.B.C.D.2解析:a·a+a·b=

56、a

57、2+

58、a

59、

60、b

61、cos6

62、0°=1+=.答案:B向量的数量积与实数的乘法的区别剖析:(1)如果两个数a,b满足ab=0,则a与b中至少有一个为0.而a·b=0可推导出以下四种可能:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.(2)对于数量,有实数a,b,c满足ab=ac,且a≠0⇒b=c.但对于向量,这种推理不正确,即a·b=a·c,且a≠0推不出b=c.例如,

63、a

64、=1,

65、b

66、=,

67、c

68、=,a与b的夹角为,a与c的夹角为0,显然a·b=a·c=,但b≠c.(3)两个向量的数量积是两个向量之

69、间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,不可混淆.知识拓展(1)两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关.当0°≤θ<90°时,a·b>0;当θ=90°时,a·b=0;当90°<θ≤180°时,a·b<0.(2)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度

70、a

71、与b在a的方向上的数量

72、b

73、cosθ的乘积.知道了数量积的几何意义,可以帮助大家正确认识向量的数量积.如:当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为任一与a

74、垂直的非零向量b,都有a·b=0.题型一求平面向量的数量积【例题1】已知

75、a

76、=4,

77、b

78、=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.分析:解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算.解:(1)∵a∥b,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,∴a·b=

79、a

80、

81、b

82、cos0°=4×5=20;若a与b反向,则a与b的夹角θ=180°,∴a·b=

83、a

84、

85、b

86、cos180°=4×5×(-1)=-20.(2

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