高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义课件.pptx

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1、2.3.1向量数量积的物理背景与定义一二三一、两个向量的夹角【问题思考】1.设a,b是两个非零向量,能否把a,b平移到共同起点?提示:能.2.填空:两个向量的夹角.一二三3.做一做:作出a与b的夹角:答案:略一二三二、向量在轴上的正射影【问题思考】1.若A(1,1),B(5,8),过点A作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A1,A2,过点B作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B1,B2,提示:(4,0)(0,7)一二三一二三3.做一做:已知

2、a

3、=6,e为单位向量,若=45°,则a在e方向上的正射影坐标为.一二三三、数量积

4、的定义【问题思考】1.如图,在力F的作用下,木块在水平方向上移动了5m,若F=3N,则力F做的功是多少?一二三2.填空:(1)向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,我们把

5、a

6、

7、b

8、cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=

9、a

10、

11、b

12、cosθ(其中θ是a与b的夹角).(2)数量积的性质①如果e是单位向量,那么a·e=e·a=

13、a

14、cos;②a⊥b⇒a·b=0,且a·b=0⇒a⊥b;(5)

15、a·b

16、≤

17、a

18、

19、b

20、(共线时取等号).3.做一做:若

21、a

22、=3,

23、b

24、=4,a∥b,则a·

25、b=.答案:±12思考辨析判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若a∥b,则=0°.()(2)两向量的数量积必是非负实数.()(3)a·b≤

26、a

27、

28、b

29、.()答案:(1)×(2)×(3)√探究一探究二探究三易错辨析与数量积有关命题的判断【例1】已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为()①

30、a·b

31、=

32、a

33、·

34、b

35、⇔a∥b;②a,b反向⇔a·b=-

36、a

37、·

38、b

39、;③a⊥b⇔

40、a+b

41、=

42、a-b

43、;④

44、a

45、=

46、b

47、⇔

48、a·c

49、=

50、b·c

51、.A.1B.2C.3D.4探究一探究

52、二探究三易错辨析解析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.①中因为a·b=

53、a

54、·

55、b

56、·cosθ,所以由

57、a·b

58、=

59、a

60、·

61、b

62、及a,b为非零向量可得

63、cosθ

64、=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命题①是真命题;②中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=

65、a

66、·

67、b

68、·cosπ=-

69、a

70、·

71、b

72、,且以上各步均可逆,故命题②是真命题;③中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩

73、形,于是它的两对角线长相等,即有

74、a+b

75、=

76、a-b

77、.反过来,若

78、a+b

79、=

80、a-b

81、,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此命题③是真命题;④中当

82、a

83、=

84、b

85、但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有

86、a·c

87、≠

88、b·c

89、,反过来由

90、a·c

91、=

92、b·c

93、也推不出

94、a

95、=

96、b

97、.故命题④是假命题.答案:C探究一探究二探究三易错辨析反思感悟两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为(或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,

98、则两向量共线.探究一探究二探究三易错辨析变式训练1若a⊥b,则a·b=0;反之成立吗?答案:成立.探究一探究二探究三易错辨析求向量的正射影或数量积探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析向量数量积的性质【例3】已知a,b是两个非零向量.(1)若

99、a

100、=3,

101、b

102、=4,

103、a·b

104、=6,求a与b的夹角;(2)若

105、a

106、=

107、b

108、=

109、a-b

110、,求a与a+b的夹角.分析:利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解.解:(1)因为a·b=

111、a

112、

113、b

114、cos,所以

115、a·b

116、=

117、

118、a

119、

120、b

121、c

122、os

123、=

124、a

125、

126、b

127、

128、cos

129、=6.又

130、a

131、=3,

132、b

133、=4,探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析变式训练2已知非零向量a,b满足

134、a

135、=

136、b

137、,且

138、a+b

139、=

140、a-b

141、,求a·b.解:由

142、a

143、=

144、b

145、,且

146、a+b

147、=

148、a-b

149、,知a⊥b,故a·b=0.探究一探究二探究三易错辨析易错点:因未分清夹角而致误纠错心得准确找出两向量的夹角,是求两向量数量积的关键.探究一探究二探究三易错辨析2.已知e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断中正确的是()A.e1·e2=1B.e1·e2=-

150、1C.e1·e2=±1D.

151、e1·e2

152、<1答案:C3.对任意向量a和b,

153、a

154、

155、b

156、与a·b的大小关系是()A.

157、a

158、

159、b

160、≤a·bB.

161、a

162、

163、b

164、>a·bC.

165、a

166、

167、b

168、≥a·bD.

169、a

170、

171、b

172、

173、a

174、=3,

175、b

176、=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的正射影为.