高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义示范教案新人教B版必修.doc

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1、2.3.1向量数量积的物理背景与定义示范教案教学分析　　　　　向量的数量积有着明确的物理背景和几何意义，与距离、角度紧密相联，它是度量几何学的基础．如何度量距离和角度是几何学发展的两个强大动力．向量的数量积使度量几何上升到一个崭新的层面，使人们能更有效地用代数方法研究几何，向量的数量积已成为研究几何度量的强有力的工具．这是一个好定义，它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明

2、显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．三维目标　　　　　1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义，理解投影公式al＝

3、a

4、cosθ的意义和作用．2．掌握数量积的定义、几何意义和5条基本性质．3．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．重点难点　　　　　教学重点：平面向量数量积的定义．教学难点：平面向量数量积的定义及其5条基本性质．课时安排　　　

5、　　1课时导入新课　　　　　思路1.(实例引入)在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：W＝

6、F

7、

8、s

9、cosθ其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)．故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念．思路2.(类比引入)前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以

10、进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？由此展开新课探究．推进新课　　　　　(1)如图1，一个力F作用于一个物体，使该物体位移s，如何计算这个力所做的功？图1(2)怎样理解两个向量的夹角？它的范围是多少？(3)什么是向量在轴上的正射影？其结果是什么？(4)怎样理解向量的数量积的定义？a·b的运算结果仍是向量吗？活动：由于图示的力F的方向与位移方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是F在物体位移方向上的分力，这个分力与物体位移距离的乘积才是力F做的功，即力F使物体位移s所做的功W可以用W＝

11、s

12、

13、F

14、c

15、osθ计算．其中

16、F

17、cosθ就是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量．以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积运算．力做功的计算，涉及到两个向量夹角和向量在轴上射影的概念．下面对这两个概念给予较精确的阐述．如图2，已知两个非零向量a，b(图2)，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定0≤〈a，b〉≤π，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．图2当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直．记作a⊥b

18、.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．对于向量在轴上的正射影问题，教师可与学生一起观察图形探究．已知向量a和轴l(如图3)．作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量．图3＝a在轴l上正射影记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝

19、a

20、cosθ.关于向量的数量积(内积)的定义，这是本章的核心部分，教师首先强调其定义：

21、a

22、

23、b

24、co

25、s〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

26、a

27、

28、b

29、cos〈a，b〉．然后引导学生观察分析这个定义，共同得出：(1)两个向量a与b的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零(如图4)．图4(2)若a为零向量，则

30、a

31、＝0，从而a·b＝0，故零向量与任一向量的数量积为0.(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它与数的乘法运算有本质的区别，书写时要严格区分，不能把a·b与a·b混为一谈．根据向量内积的定义，我们可以得到两个向量内积有如下重要性质：(1)如果e是单位向量

32、，则a·e＝e·a＝

33、a

34、cos〈a，e〉；(2)a⊥ba·b＝0，且a·b＝0a⊥b；(3)当a与b同向时，a·b＝

35、a

36、

37、b

38、；当a与b反向时，a·b＝－

39、a

40、

41、b

42、.特别地a·a＝

43、a

44、2或

45、a

46、＝.(4)cosθ＝.(5)

47、a·b

48、≤

49、a

50、

51、b

52、.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示，在推导过程中理解并记忆这些性质．讨论结果：(1)略(见活动)．(2)两个向量夹角的范围是[0，π]．(3)向量在轴上