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《高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义课堂导学案新人教b版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.1向量数量积的物理背景与定义课堂导学三点剖析一、平面向量的数量积关于向量的数量积,注意:(1)我们不说两个向量的积,而说是它们的数量积或者内积;(2)规定:零向量与任一向量的数量积为0;(3)两个向量的数量积是一个数量,向量a、b的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关;(4)向量的数量积的结果是一个数量,可以等于正数、负数、零,而向量的加法和减法的结果还是一个向量;(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,当中的“·”
2、不能省略;(6)当〈a,b〉为锐角时,a·b>0;当〈a,b〉为直角时,a·b=0;当〈a,b〉为钝角时,a·b<0;(7)有些向量的数量积有一定的含义,如向量F、s的数量积,就是力F移动位移s所做的功.【例1】已知
3、a
4、=4，
5、b
6、=5，且a与b的夹角为60°.求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）（a-b）2；（4）a2-b2.思路分析：利用两向量数量积公式a·b=
7、a
8、
9、b
10、cosθ、
11、a
12、2=a2及运算律计算.解析:（1）a·b=
13、a
14、
15、b
16、cosθ=4×5×cos60°=10.（2）（
17、a+b）2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52=61.(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2=
18、a
19、2-2
20、a
21、
22、b
23、cosθ+
24、b
25、2=42-20+52=21.（4）a2-b2=
26、a
27、2-
28、b
29、2=42-52=-9.类题演练1已知
30、a
31、=4，
32、b
33、=5.当（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.思路分析:确定夹角θ运用数量积的公式列式求解.解:（1）a∥b.若a与b同向，则θ=0,a·b=
34、a
35、
36、b
37、cos0°=4×5=20.若a与b反向，则θ=18
38、0°,a·b=
39、a
40、
41、b
42、cos180°=4×5×(-1)=-20.(2)当a⊥b时，θ=90°,a·b=
43、a
44、
45、b
46、cos90°=0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b=
47、a
48、
49、b
50、cos30°=.变式提升1在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,求·.思路分析:要求、,关键是确定与的夹角.解:如图(1),在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,所以直角边AB==2.∴
51、
52、=2,
53、
54、=.如图(2),与的夹角∠BAC=45°,∴·=·(-)=-(·)=-
55、
56、
57、
58、cos∠BAC=-2×cos45°=-2
59、××=-4.二、两向量的夹角关于两向量的夹角,注意:(1)已知两个非零向量a、b(如图所示),作=a,=b,则∠AOB称为向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉.(2)两向量夹角的范围是［0,π］,且〈a,b〉=〈b,a〉.(3)当〈a,b〉=时,称向量a与向量b互相垂直,记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.(4)当〈a,b〉=0时,a与b同向;当〈a,b〉=π时,a与b反向.【例2】已知单位向量e1、e2的夹角为60°,求向量a=2e1+e2与b=2e2-3e1的夹角θ.思路分析:注意单位向量的模是
60、1这个隐含条件.解:∵e1·e2=
61、e1
62、
63、e2
64、cos60°=cos60°=,∴a·b=(2e1+e2)·(2e2-3e1)=-6e12+e1·e2+2e22=.又a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,b2=(2e2-3e1)2=4e22-12e1·e2+9e12=7.∴
65、a
66、=
67、b
68、=,则cosθ==-,又∵0≤θ≤π,∴θ=π.类题演练2已知
69、a
70、=5，
71、b
72、=4，且a·b=-10，求a与b的夹角θ.思路分析:用夹角公式,即数量积公式变形.解:cosθ==-,又θ∈［0,
73、π］,∴θ=.变式提升2在△ABC中,=a,=b,且a·b>0,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析:由两向量夹角的概念,a与b的夹角应为180°-∠B.因为a·b=
74、a
75、
76、b
77、cos(180°-B)=-
78、a
79、
80、b
81、cosB>0,所以cosB<0.又因为B∈(0°,180°),所以角B为钝角.所以△ABC为钝角三角形.答案:C温馨提示此题主要考查两向量夹角的概念,应避免a·b=
82、a
83、
84、b
85、cosB>0得cosB>0,进而得角B为锐角,从而无法确定,错选D.三、向量
86、在轴上的投影这部分内容要注意:(1)已知向量a和轴l(如图所示),作=a,过点O、A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1、A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).(2)a在轴l上的正射影,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作a,a=
87、a
88、cosα.(3)射影的坐标是数量,当α为锐角时,a为正值;当α为钝角时,a为负值;当α=0时,a=
89、a
90、;当α=π时,a=-
91、a
92、.【例3】已知轴l,如图:(1)向量
93、
94、=5,〈,l〉=60°,求在l
