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《2019-2020年高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积例题与探究新人教B版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积例题与探究新人教B版必修典题精讲例1(xx全国高考卷Ⅰ，文1)已知向量a、b满足
2、a
3、=1,
4、b
5、=4,且a·b=2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.思路解析:考查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条件.∵cos〈a，b〉==，〈a，b〉∈［0，π］，∴〈a，b〉=.答案:C绿色通道:求向量a与b的夹角步骤：(1)计算b·a，
6、a
7、，
8、b
9、；(2)计算cos〈a，b〉；(3)根据范围确定夹角的大小.变式训练1(xx广东广州二
10、模)若
11、a
12、=1，
13、b
14、=，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为()A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析:设a与b的夹角为θ，∵(a-b)·a=0，∴
15、a
16、2-b·a=0.∴b·a=1.∴cosθ==.又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案:B变式训练2已知a=(1，)，b=(+1，-1)，则a与b的夹角是多少?思路分析:利用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦值.解：设a与b的夹角为θ，∵a=(1，)，b=(+1，-1)，∴a·b=+1+(-1)=4，
17、a
18、=2，
19、b
20、=2.∴cosθ==
21、.又∵0≤θ≤π，∴θ=，即a与b的夹角是.变式训练3已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.思路分析:求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与
22、a
23、、
24、b
25、即可.解：∵(a+3b)⊥(7a-5b)，∴(a+3b)·(7a-5b)=0.∴7a2+16a·b-15b2=0.①又∵(a-4b)⊥(7a-2b)，∴(a-4b)·(7a-2b)=0.∴7a2-30a·b+8b2=0.②①-②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=
26、b
27、2.代入①式，得7
28、a
29、2
30、+8
31、b
32、2-15
33、b
34、2=0，故有
35、a
36、2=
37、b
38、2，即
39、a
40、=
41、b
42、.∴cos〈a，b〉===.又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=60°，即a与b的夹角为60°.变式训练4已知△ABC中，a=5，b=8，BC·CA=-20，试求∠C.有位同学求解如下：解：如图2-3-5，∵
43、
44、=a=5，
45、
46、=b=8，图2-3-5∴cos∠C===-.又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析:上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原
47、因就在于没能正确理解向量夹角的定义，由于与两向量的起点并不同，故∠C≠〈，〉，而是∠C+〈，〉=180°，则cos〈，〉===-.又∵0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉=120°.∴∠C=60°.答案:这位同学的解答不正确，∠C=60°.批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么你就成功了，请你再试试吧.例2已知向量a、b不共线，且
48、2a+b
49、=
50、a+2b
51、，求证：(a+b)⊥(a-b).思路分析:考查向量垂直的条件以及向量的数量积.证明(a+b)与(a-b)垂直，转化为证明(a+b)与(a-b)的数量积为零
52、，也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一：∵
53、2a+b
54、=
55、a+2b
56、，∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2.∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线，a+b≠0，a-b≠0，∴(a+b)⊥(a-b).证法二：如图2-3-6所示，在平行四边形OCED中，设=a，=b,A、B、N、M分别是OC、OD、DE、EC的中点.图2-3-6则有2a+b=，a+2b=，a+b=,a-b=，∵
57、2a+b
58、=
59、a+2b
60、，∴
61、
62、=
63、
64、.∴△OMN
65、是等腰三角形.可证F是MN的中点.∴OE⊥BA.∴⊥.∴⊥.∴(a+b)⊥(a-b).绿色通道:证明向量垂直的两种方法：(1)应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.(2)应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练已知向量a、b均为非零向量，且
66、a
67、=
68、b
69、，求证：(a-b)⊥(a+b).思路分析:转化为证明向量(a-b)和(a+b)的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-3-7所示，在平行四边形OACB中，图2-3-7设=a,=b，则a-b=，a+b=.∴
70、
71、=
72、
73、.∴四边形
74、OACB是菱形.∴OC⊥BA.∴⊥，即(a-b)⊥(a+b).证法二：∵
75、a
76、=
77、b
78、，∴(a-b)·(a+b)=a2-b2=
79、a
80、2-
81、b
82、2=0.∵a、b均为非零向量，∴a-b≠0，a+b≠0.∴(a-b)⊥(a+b).例3(xx湖北高考，理19)如图2-3-8，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.图2-3-8思路分析:本小题主
