中考数学专题复习之圆一

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一、知识点1、与圆有关的角圆心角、圆周角(1)图中的圆心角;圆周角;(2)如图，已知ZAOB二50度，则ZACB二度；(3)在上图中，若AB是圆0的直径，则ZA0B二度；2、圆的对称性：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为・(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，TCD是圆0的直径，CD丄AB于E•••—,—3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆例仁已知圆的半径厂等于5厘米，点到圆心的距离为〃，(1)当朋2厘米时，有厂，点在圆(2)当朋7厘米时，有厂，点在圆(3)当由=5厘米时，有d厂，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相.例2：已知圆的半径厂等于12厘米，圆心到直线/的距离为〃，(1)当oMO厘米时，有厂，直线/与圆(2)当厘米时，有厂，直线/与圆(3)当店15厘米时，有—厂，直线/与圆5、圆与圆的位置关系：例3：已知00,勺半径为6厘米，(DO?的半径为8厘米，圆心距为d,则：R+r=,R—r二；(1)当厘米时，因为dR+r,则（DO冷口OO2位置关系是：(2)当朋2厘米时，因为dR—r,则G）0（和。O2位置关系是: (3)当厘米时，因为,则OOi和002位置关系是：(4)当店7厘米时，因为,则和002位置关系是：(5)当厘米时，因为,则OOi和（DO?位置关系是：6、切线性质：例4：（1）如图，PA是（30的切线，点A是切点，则ZPA0二度（2）如图，PA、PB是O0的切线，点A、B是切点，则二,Z二Z；7、圆屮的有关计算（1）弧长的计算公式：例5：若扇形的圆心角为60°,半径为3,则这个扇形的弧长是多少？解：因为扇形的弧长二180所以/二二（答案保留n）180（2）扇形的而积：例6：①若扇形的圆心角为60°,半径为3,则这个扇形的面积为多少？解：因为扇形的面积S二I360所以S二1二（答案保留口）360②若扇形的弧长为12ncm,半径为6cm,则这个扇形的面积是多少？解：因为扇形的面积S二所以S二二（3）圆锥: 例7:圆锥的母线长为5cm,半径为4cm,则圆锥的侧面积是多少？解：・・•圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于/.圆锥的彳则面积二8、三角形的外接圆的圆心一一三角形的外心一一三角形的交三角形的内切圆的圆心一一三角形的内心一一三角形的交例8：画出下列三角形的外心或内心（1）画三角形ABC的内切圆,并标出它的内心；（2）画出三角形DEF的外接圆,并标出它的外心切割线定理：设ABP是（DO的一条割线，PT是（DO的一条切线，切点为T,贝IJPT2=PA・PB割线定理：直线ABP和CDP是自点P引的＜30的两条割线，则PA•PB=PC•PD相交弦定理：若弦AB、CD交于点P,则PA・PB=PC・PD;若AB是直径，CD垂直AB于点P,则PC2=PA・PB（相交弦定理推论）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.（弦切角就是切线与弦所夹的角）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦塑鱼・・・ZPCA二ZPBC（ZPCA为弦切角）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例屮项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例屮项。公式RtAABC'P/ZBAC=90°,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下:(1)(AD)2=BDDC,(2)(AB)2=BDBC,(3)(AC)2;=CDBC。等积式(4)AB・AC=BC・AD 1、如图所示，有一直径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC.求：⑴被剪掉的阴影部分的而积；⑵用所留的扇形铁皮闱成一个圆锥，该圆锥的底而圆的半径是多少？(结果可用根号表示)2、如图是某学校田径体育场一部分的示意图，第一条跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道,直道为反相等的平行线段，弯道为同心的半圆型，弯道与同心的半圆型,弯道与直道相连接.已知直道BC的长为86.96米，跑道的宽为1米(龙=3.14,结果精确到0.01)(1)求第一条跑道的弯道部分入B的半径；(2)求一圈屮第二条跑道比第一条跑道长多少米？(3)若进行200米比赛，求第六道的起点F与圆心0的连线F0与OA的夹角ZFOA的度数.终点线03、“6”字形图中，FM是大O0的直径，BC与大相切于B,OB与小O0相交于AD〃BC,CD//BH//FM,DH丄BH于H,设AFOB=30OB=4,BC=6(1)求证：AD为小OO的切线；(2)求DH的长(结果保留根号).4、(大连2004)如图，AB、CD是G)O的直径，DF>BE是弦，且DF=BE.求证：ZD=ZB.5、如图，已知G)O的半径为2,弦AB的长为2点C与点D分別是劣弧AB与优弧ADB上的任一点(点C、D均不与A、B重合). (1)求ZACB；(2)求厶ABD的最大面积.6、如图，已知△ABC内接于(DO,D是<30上一点，连结BD、CD、AC、BD交于点E.(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明；(2)若ZD=45°,BC=2,求00的面积.如图，△八BC内接于OO,D是弧AC的中点，求证：CD~DE・DB。7、如图1和图2,MN是的直径，眩AB、CD相交于MN上的一点P,ZAPM=ZCPM.(1)由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.(2)若交点P在的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. AMEDN8、如图，AB是OO的直径，BD是©0的弦，延长BD到C,使AC二AB,BD与CD的大小有什么关系？为什么？9、如图，AB为O0的直径，C是00±一点，D在AB的延长线上，且ZDCB二ZA.(1)CD与00相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.(2)若CD与00相切，且ZD=30°,BD二10,求€)0的半径.10、在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于AABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上,如图24-94的设计方案是使AC=8,BC=6.(1)求△ABC的边AB上的高h.h-DNNF(2)设DWx,且=—,当x取何值吋，水池DEF5I的面积最大？hAB(3)实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.11、.已知：如图等边厶ABC内接于O0,点P是劣弧PC上的一点(端点除外)，延长BP至D,使BD=AP,连结CD.(1)若AP过圆心O,如图①，请你判断是什么三角形？并说明理由.(2)若AP不过圆心O,如图②，'PDC又是什么三角形？为什么？ 12、(1)如图OA、OB是OO的两条半径，且OA丄OB,点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切00于点D,连结AD交DC于点E.求证：CD=C.E(2)若将图中的半径0B所在直线向上平行移动交0A于F,交于B',其他条件不变，那么上述结论CD二CE还成立吗？为什么？(3)若将图川的半径0B所在直线向上平行移动到O0外的CF,点E是DA的延长线与CE的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么44FEc13、如图，己知在00中，AB二4侖，AC是00的直径，AC丄BD于F,ZA=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成-个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.14、如图，四边形ABCD内接于(DO,BD是00的直径，4E丄CD,垂足为E,D4平分ZBDE・(1)求证：AE是00的切线；(2)若ZDBC=30°,DE=1cm,求BD的长.15、如图，在00中，AB是直径，CD是弦，AB丄CD。(1)P是优弧CAD上一点(不与C、D重合),求证：ZCPD=ZCOB；(2)点L在劣弧CD上(不与C、D重合)吋，ZCP'D与ZCOB有什么数量关系？请证明你的结论。16、如图，在平面直角坐标系屮，OC与y轴相切，且C点坐标为(1,0),直线Z过点A(―1,0),与OC相切于部分答案7、解：(1)AB=CD理由：过0作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、FJZAPM=ZCPM AZ1=Z2OE=OF连结OD、OBOB=OD.•.RtAOFD^RtAOEB・•・DF二BE根据”垂径定理可得：AB=CD（2）作OE丄AB,OF丄CD,垂足为E、F•・•ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPEO二ZPFO二90°ARtAOPE^RtAOPF・•・OE二OF连接OA、OB、OC、OD易证RtAOBE^RtAODF,RtAOAE^RtAOCF・・・Z1+Z2二Z3+Z4・・・AB二CD8、连接ADTAB是OO的直径・•・ZADB=90°即AD1BC又TAC二AB・•・BD=CD9、解：（1）CD与（DO相切理由：①C点在O0±（已知）②TAB是直径・・・ZACB二90°,即ZAC0+Z0CB二90°•・・ZA=Z0CA且ZDCB二ZA・•・Z0CA=ZDCB・•・Z0CD=90°综上：CD是O0的切线.（2）在RtAOCD中,ZD二30°・•・ZCOD=60°・•・ZA二30°AZBCD=30°ABC=BD=10/.AB=20,Ar=1010、解：（1）由AB・CG二AC・BC得h二些芒£=空@二4.8AB10⑵hABUDN=x••加4.8贝0S四边形der=x•（4.8-x）—x2+10x4.812d（宀竺x）1225 25「/60、23600「=-—L(x-—)一J122562525二一——(x—2.4)2+12x25V-——(x-2.4)《0x25•••-——(x-2.4)'+12W12且当x=2.4吋，取等号X・••当X二2.4时，S杯最大.(3)当S椰最大时，x=2.4,此时，F为BC中点，在RtAFEB中，EF=2.4,BF二3.・・・BE二y/DE2-EF2=占丄华=1.8TBM二1.85,・・・BM>EB,即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案.•・•当x=2.4时,DE=5AAD=3.2,由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示：此时，AC二6,BC=8,AD二1.8,BE二3.2,这样设计既满足条件，又避开大树.11、VAABC为等边三角形:.AC=BCt又•・•在O0中Z.PAC=ZDBC又・・•AP=BD:.AAPC^ABDC.・•・PC=DC又TAP过圆心O,AB=AC,ZBAC=60°・•・ZBAP=ZPAC=-ABAC=30°2・・・ZBAP=ZBCP=30°,ZPBC=ZPAC=30°:.Z.CPD=APBC+ZBCP=30°+30°=60°:./PDC为等边三角形.（2）、PDC仍为等边三角形理由：先证△APC^ABDC（过程同上）・・・PC=DCJZBAP+ZPAC=60°又•：乙BAP=ZBCP,ZPAC=ZPBC・•・乙CPD=ZBCP+ZPBC=ZBAP-^-ZPAC=60°又•・•PC=DC•••△PDC为等边三角形 12、解答：（1）证明：连结0D则0D丄CD,.ZCDE+Z0DA=90o在RtAAOE中，ZAE0+ZA=90° 在00中，0A二0D・・・ZA^ZODA,ZCDE=ZAEO又VZAEO=ZCED,ZCDE二ZCEDACD=CE(2)CE=CD仍然成立.・・•原来的半径0B所在直线向上平行移动・・・CF丄A0于F,在RtAAFE中，ZA+ZAEF=90°.连结0D,有Z0DA+ZCDE=90°,且OA=OD.ZA=Z0DA・•・ZAEF=ZCDE又ZAEF=ZCEDZCED=ZCDE.CD=CE(3)CE=CD仍然成立.•・•原來的半径OB所在直线向上平行移动.AO1CF延长0A交CF于G,在RtAAEGZAEG+ZGAE二90°连结0D,.有ZCDA+Z0DA=90°,且OA=OD.ZADO=ZOAD=ZGAE.-.ZCDE=ZCED「.CD二CE13、(1)法一：过0作OE±AB于E,贝IJAE二丄AB二2馆。2Ar在RtAAE0中,ZBAC=30°,cos30°=—OA:.AE=cos30°2^3又V0A=0B,•••ZABO二30°AZB0C=60°• VAC1BD,•••处C=0D・AZCOD=ZB0C=60°•AZBOD^ISO0••c—/27C•OA"—120宀16•阴彭一一兀二2=丄兀•3603603法二：连结AD.VAC±BD,AC是直径,・・・AC垂直平分BD。.AB=AD,BF=FD,Sc=&DoAZBAD=2ZBAC=60°,.ZB0D=120°• VBF=1AB=2V3,sin60°=—,2ABAF=AB•sin60°=4^3XJE二6。2・・・0B2=BF2+0F2.即(2希尸+(6-OB)2=OB2・・・・0B二4.•0_1。_16••A阴影一一o圆一Tto33法三：连结BC・・・・AC为00的直径,AZABC=90°。AC=cos30°=2•・•AB=4V3,VZA=30°,AC丄BD,AZB0C=60°,36033.-.ZB0D=120o.・・.S映二VOn•oa'JJ_X4‘•兀二/兀。以下同法一。(2)设圆锥的底面圆的半径为则周长为2nr,2兀厂=120180兀L44•:r=—03•••ZBDA=ZEDA•14.(1)证明：连接OA,vDA平分ZBDE,•••0A=0D•••ZODA=ZOAD.ZOAD=ZEDA.•••OA//CE.vAE丄DE,aZAED=90ZOAE=ZDEA=90°.・•・AE丄0A・・・・AEMOO的切线.(2)•••BD是直径，AZBCD=ABAD=90°.vZDBC=30ZBDC=60°, ・・・ZBDE=20°・vDA平分ZBDE,/.ZBDA=ZEDA=60°.・・・ZABD=ZEAD=30°.在RtA/lED中，ZAED=90ZEAD=3Q.AD=2DE.在RtAABD中，ZBAD=90ZABD=30°,/.BD=2AD=4DE.•・•DE的长是lcm,・•・BD的长是4cm.15、(1)证明：连接0D,TAB是直径，AB丄CD,/.ZC0B=ZD0B=lzc