2、,+,×>～。例1－2.6设集合而＋和·分别为矩阵的加法和乘法，则是代数系统。对代数系统U=和V=，W到C的映射是U到V的同构，故。例1－2.7设A是全集E的任一非空真子集，则集合{Æ,A,～A,E}Å对二元运算∪和∩及一元运算～，有运算表1－2.3。表1－2.3再在集合{1,2,5,10}中规定二元运算⊕和Ä及一元运算：其中[x,y]和(x,y)分别表示x,y的最小公倍数和最大公因数。即有表1－2.4这样，对代数系统U=<{Æ,A,~A,E},∪，∩，～>和V＝<{1,2,5,
3、10},Å,Ä,－>,{Æ,A,~A,E}到{1,2,5,10}的映射ÆÕ1AÕ2f:~AÕ5EÕ10是双射，且因上述相应的运算表本质一致，即对所有运算能保持映射，故f是U到V的同构，因而U@V。很明显，所有代数系统构成的集合中的同构关系是一个等价关系。定理1－2.2设代数系统U＝~V=,f是满同态。若U可交换，则V也可交换。若U可结合，则V也可结合。若U有等幂元a，则V有等幂元f(a)。若U有零元o，则V有零元f(o)。若U有幺元e，则V有幺元f(e)。若U中元素x有逆元x-1，则V中元素f(x)有逆元f(x-1)，即(f(x))-1=f(x-1)
4、。这个定理请读者自行证之。其中3)实际上只要求f是个同态即可。1－3代数系统的同余关系与商代数本节主要阐明同态与同余关系之间的联系，并通过同余关系诱导出一个新的，称为商代数的代数系统。定义1-3.1设U=是代数系统，若X中的等价关系E还对X中任意元素x1,x2,y1和y2，这里x1Ex2,y1Ey2关于所有运算能“保持关系”：(x1*y1)E(x2*y2)(x1+y1)E(x2+y2)△(x1)E△(x2)…………………则称E为U中的同余关系，E的等价类此时就称为同余类。例1-3.1设集合X={
5、a,bÎI,b≠0},若在X中规定二
6、元运算+和×：+=×=则U=是代数系统。在X中定义关系R：Rad=bc则易知R是等价关系。若X中元素R,R，即a1b2=b1a2,c1d2=d1c2,则可得(a1d1+b1c1)b2d2=(a1b2)d1d2+(c1d2)b1b2=(b1a2)d1d2+(d1c2)b1b2=b1d1(a2d2+b2c2)(a1c1)(b2d2)=(b1d1)(a2c2)因而R7、c2,b2d2>R即(+)R(+)(×)R(×)故R是U中的同余关系。例1-3.2设代数系统U=，若对任意正整数m，在I中定义关系R：i1Ri2Ûi1(modm)=i2(modm)则易知R是等价关系。若I中元素i1Ri2,j1Rj2,可设i1=p1m+r1i2=p2m+r1o≤r1﹤mj1=q1m+r2j2=q2m+r2o≤r2﹤m则(i1+j1)(modm)=(r1+r2)(modm)=(i2+j2
8、)(modm)(i1×j1)(modm)=(r1×r2)(modm)=(i2×j2)(modm)即(i1+j1)R(i2+j2)(i1×j1)R(i2×j2)故R是U中的同余关系。例1-3.3，给空代数系统U=，其中I是整数集合，+和×是一般的加法和乘法，便设I中的关系R定义如下：i1Ri2=
9、i1
10、=
11、i2
12、.其中i1,i2ÎI试问，R是否是U中的同余关系？解：显然R是I中的等价关系，证明如下："iÎI∵
13、i
14、=
15、i
16、∴iRi,R是向反的。"i1,i2ÎI若i1Ri2则
17、i1
18、=
19、i2
20、∴
21、i2
22、=
23、i1
24、∴i2Ri1,R是对称的。"
