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1、第18讲§5子环、环的同态（Subgroupandhomomorphismofring）本讲的教学目的和要求：本讲的内容出发点都是跟循群论的思路，环——子环的定义——子环的实例——环同态（尤其是环同态满射）——同态映射（满射）所能传递的代数性质和不能传递的代数性质。本讲中，要求能弄清和领会环同态与群同态的区别所在。1、子环的定义，尤其是子整环，子除环和子域的定义。特别一提的是：一个环可能不是什么特殊环，但却是特殊子环。2、扩环与子环之间在单位元变换性，零因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点，这是与群截然不同的地方。4、环同态映射（
2、既使是环同态满射）也有一些性质不能传递过去。5、环同构的应用——挖补定理。一、子环的定义、例子和简单性质.定义3.5.1.设是一个环，而是的一个非空子集，如果关于中的加法和乘法,本身做成一个环,则称为的一个子环,同时称为的扩环.仔细分析一下，要成为的子环,则要满足环的三条:为的子加群.可将结合律传递给9中满足左，右分配律于是得到子环的等价定义:定义3.5.1.′.设.如果满足.(1)是的子加群；(2)对乘法封闭.那么,称是的子环.若用数学语言来表达上定义则为：设.如果满足.(1),(或且)(2),则称S是的子环。设，1、是的子整环(ⅰ
3、).(ⅱ)是可交换的且（ⅲ）中没有零因子.2、是的子除环(ⅰ).(ⅱ),且(或说)3、是的子域既是的子整环也是的子除环.例1.对于环而言,零环和必是的子环——的平凡子环.例2.偶数环2是整数环的子环(但不是子整环).例3.整系数多项式环是多项式环的子环注意1:环本身不是整环,但也许有子整环.9环本身不是除环(域)但可能有子除环(子域).例4.设为复数域上的二阶矩阵环,显然不是整环，不是除环,更不是域(不可交换,有零因子)但我们发现:是的子整环.是的子域.是的子除环.例5.为模6的剩余类环,而不仅是的子环还是的一个子域.(其中,,且)注
4、意:从例5中看到:中的单位元,而中的单位元.这表明子环中的单位元未必是扩环(母环)的单位元.与群的子群的相比，子环具有许多“怪”性质.汇总起来,我们有命题3.5.2设是的子环,那么:①是有单位元的环,未必是有单位元的环。②不是有单位元的环,可能是有单位元的环。③不能交换,可能可交换.④与都是有单位元的环，但它们的单位元未必一致.⑤是整环(除环、域),未必是整环,(除环、域).9⑥不是整环(除环、域),但可能是整环(除环、域)注意从上结论可知,在环与子环之间，单位元,交换性，环的类型都可能发生转变，而且以例5中知,零因子也会发生转变:在
5、中是零因子,但在S中是可逆元。命题3.5.3.设为任意环,令则必是一个子环,叫做环的中心.证明:.,..且是的子环.(显然,是R的交换子环)可知:本身可交换.命题3.5.4设和都是环R的子环,那么是和的子环.(证明略).将命题3.5.4进行推广知:设是的子环集,那么必是的子环.二、环的同态定义3.5.5设是环到环的映射.如果满足:则称是一个环同态映射.其中如果是满射(单射、双射)，则称为环同态满射(环同态单射,环同构)。特别是环同态满射时,则称与同9态,记为～.注意：由上定义可知,一个环同态映射就是分别对环的加法和乘法都满足“保持运算
6、”的性质.利用这一点,可以自然地得到:定理3.5.6（定理1,p98）.设{}和都是代数系统,如果是到的满射且有..则当{}是环时,也必是环.下面我们模仿群论的讨论方式:考察环同态能传递一些什么代数性质.定理3.5.7（定理2,p98）设是环同态满射,那么:①若是中的零元必是的零元.即②若是的单位元必是的单位元即.,③负元的象是象的负元,即④若可交换也可交换.证明:①是满射使于是确实是中零元.②使而,同理,.③,同理,9,.④,则使故是交换环.显然环同态满射能传递许多代数性质,但也有一些是无法传递过去的.例4.设是环同态满射,其中:。
7、是整环。中没有零因子,但在中,和、都是零因子。例如：2不是中的零因子,但却是中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子。例7.设.在中定义运算:可以验证:R是一个环.现作一个对应:,其中,。可以验证,是一个环同态满射.由于是中的零元,当且时.有中有零因子.而显然中没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.由上知，环同态满射尚不能保证传递分部的代数性质.如果是环同构时，其结果则不同了.定理3.5.8（p99定理3）若和都是环,且。则是整环(除环,域)当且仅当是整环(除环,域).9利用环同构的性质,可以得到下面一个有趣的事实.
8、引理3.5.9.（p99引理）设是一个环,而是一个双射,其中是一个集合。那么,可以给集合定义加法乘法,使得成为环，并且成为到的环同构。证明:.定义:，所以又已知是双射.由的任意性.因为环,由定理3.5.6（定理1,p98
