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1、第17讲§4无零因子环的特征（Characteristicoftheringwithoutzero-division）本讲的教学目的和要求：环中有二个运算，关于加法做成一个加群。所以群中元素自然存在阶的概念。本讲是在元素的阶的基础上，定义了环的“特征”的概念，与教材不同的是：本讲中不只是讨论无零因子环的特征，而是将一般环的特征做了介绍。而将无零因子环的问题只是作为一种特例。这里要求：1、对一般环的特征的定义要真正弄明的，特别是与中元素的阶的本质区别。2、无零因子环中的特征的几个性质的证明应该掌握。3、对讲义中最后的几个练习，需要领会其
2、内涵。一、环的特征的定义一个普通的计算规则：。在环中，这条规则往往不成立。例（p94.例1）p是素数，Zp是域。证明：只需证明Zp-{0}是乘法群。取，。定义3.4.1：设为任意环，如果存在自然数，使得任意都有，那么称这样的最小的自然数为环的特征，记为。如果不存在这样5的自然数，则称环的特征为无穷大，记例1．整数环中上述定义的自然数不存在.=.不仅如此,还可知例2.在模4的剩余类环中,,当取时,都有而最小的显然是4一般的：模m的剩余类环,注意1：1°如果环的加群中有一个元素的阶为无穷，由的定义知必有。2°如果的加群中每个元素都是有限阶
3、而最大的阶为.譬如;,,。最大者是4.命题3.4.2.若,那么,加群中每个元素,都有.在此,我们要强调二点:①确实存在这样的环,使得其加群中既有无穷阶的元素又有有限阶的元素.例3（p95例2）设是两个循环加群,又设而.所以5（整数加群）.（Zn,c=[1]）现令并规定中加法“+”:乘法“·”：。可以验证是一个环，但在加群中，而.①存在这样的环：其加群中每个元的阶都有限，但不存在最大的阶.例4设,在中规定加法“+”:,和规定乘法“·”:.易证是个环,而加群中的零元为1.且群中每个元的阶都有限,但阶数可任意大.(不存在最大的阶).命题3.
4、4.3.若{}是一个非零环,那么.证明:设:由注1的1°知.设对由的任意性知。若则与矛盾。例5.若环的特征为素数,且可交换,则有.证明:因是交换环,5显然,当时,我们有(!,)=,又因!!,进而。于是例6.若且其中每个元都有(称为幂等元).那么必为特征是2的交换环.证明:,,由于由的任意性。但即是可交换的.二、无零因子环的特征设是一个无零因子环,那么关于的特征问题就有更加明确的意义。定理3.4.4.（定理1.p95）设是无零因子环,那么加群中每个非零元的阶都是一样的.证明：若R中每个元素的阶是无穷，则定理成立。若R中有元素a，其加法阶
5、数为n，b是R中另一元素。所以。因此，。同样可以证明。5上述定理告诉我们:非零的无零因子环中元素的阶只有二类:一类是零元0(0的阶永远为1).而其余元素为另一类,它们或者都是无穷大,或都是同一个自然数.定理3.4.5(定理2.p96)若非零无零因子环的特征,那么必是一个素数.证明：n不是素数且n=n1n2，并且存在，。而矛盾。由于整环,除环和域都是无零因子环,所以都满足上述性质。综合而言:推论:任一个整环,除环和域的特征或是无限大,或是一个素数.5
