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《近世代数第9讲置 换 群(pormutation group).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、置换群(pormutationgroup)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求：1、弄清置换与双射的等同关系。2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。注意：由有限群的cayley定理
2、可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数
3、创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。一．置换群的基本概念定义1.任一集合到自身的映射都叫做的一个变换，如果是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为的一个置换。有限集合的若干个置换若作成群，就叫做置换群。含有个元素的有限群的全体置换作成的群，叫做次对称群。通常记为.明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而次对称群也就是有限集合的完全变换群。现以为例，设：是的一一变换。即:,,,利用本教材中特定的表示方法有：，，.由于映射中只关心元素之
4、间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证.故此.:,,.稍做修改:：=.用=来描述的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为，…,但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换.二.置换的乘积.设的任二个置换,,那么由于和都是一一变换,于是也是的一一变换.且有:,,.用本教材的记法为:,,.换句话说:例1.计算下列置换的乘积:(1),(2),(3).解:注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的.例1.设,那么的全部一一变换构成的三
5、次对称群为.其中,,,,所以.其中是恒等变换.即是的单位元.定理1.次对称群的阶是.由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征.譬如,不可交换性:三循环置换及循环置换分解.(1)循环置换(轮换)前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法.设有8元置换,的变换过程为,即其他元素都不改变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换可写成循环置换的形式:注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.
6、“8元置换”②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.这是因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.③.的单位(恒等置换)同上,习惯写成.定义2.中的一个将变到，变到变回到而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化的置换，叫做—循环置换（或称—循环）,记为()例3．在中.叫作3—循环置换.叫作5—循环置换.叫作1—循环置换.（2）循环置换分解很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元置
7、换不可能是循环置换，但我们会发现可见，虽不是循环置换，但它是循环置换之积。定义3.设和都是循环置换.如果与不含相同的文字，那么称与是不相连的.定理2.每一个元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积.（循环置换分解定理）【证明】.设是中任一个元置换，下面对中改变文字的个数用数学归纳法。如果使中每个文字都不发生改变，则是恒等置换.即，定理2成立.假设最多变动个文字时，定理成立。现考察变动了个元的情形：首先在被变动的文字中随意取一个文字，从出发找到在下的象,再找的象,…,直到找到，其中：.于是因为只变动了个文字，故.如果，则本身就是一个
8、—循环置换:定理证毕。如果，模仿的做法。由于中只变动了个文字，中只能变动个文字.由归纳假设，必可以写成若干个不相连的循环置换之积:还需特别说明:中的所有循环置换中不可能再出现,否则,当因为是互不相连,只在中出现.将，但前
