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1、§1.2群的概念群的定义群的性质群的判别一．群的定义定义1.2.1设是一个非空集合,若对中任意两个元素通过某个法则“”，有中惟一确定的则称法则“”为集合上的一个代数运元素与之对应,算（algebraicoperation）．元素是通过运算“”作用的结果,我们将此结果记为例１有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算．如果只考虑所有非零有理数的集合Q*,则除法是Q*上的代数运算.剩余类集．对，规定例２设为大于1的正整数，为的模证我们只要证明,上面规定的运算与剩余类的代表元的选取无关即可．设则于是从而则“＋”与“”都是上的代数运算．所以+与都是
2、上的代数运算.一个代数运算，即对所有的有如果的运算还满足(G1)结合律，即对所有的有；(G2)中有元素，使对每个，有定义1.2.2设是一个非空集合，“”是上的(G3)对中每个元素，存在元素，使．在不致引起混淆的情况下,也称为群．（unitelement）或恒等元（identity）；注1．(G2)中的元素称为群的单位元(G3)中的元素称为的逆元（inverse）．则称关于运算“”构成一个群（group），记作我们将证明：群的单位元和每个元素的逆元都是惟一的．中元素的惟一的逆元通常记作．（commutativegroup）或阿贝尔群（abeliangroup)．，有，则称是
3、一个交换群3．群中元素的个数称为群的阶（order），记为．如果是有限数,则称为有限群2．如果群的运算还满足交换律，即对任意的（finitegroup），否则称为无限群（infinitegroup).例３整数集关于数的加法构成群．这个群称为整数加群．证对任意的，有，所以“＋”是上的一个代数运算．同时，对任意的,有所以结合律成立.另一方面，且有又对每个有从而关于“＋”构成群，显然这是一个交换群．所以0为的单位元.所以是的逆元.注1．当群的运算用加号“＋”表示时，通常将的单位元记作0，并称0为的零元；将的逆元记作,并称为的负元．2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋”来表示
4、群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地,将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定群的运算是乘法．当然,所有关于乘群的结论对加群也成立（必要时,作一些相关的记号和术语上改变）．例４全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法构成交换群,这个群的单位元是数1，非零有理数的逆元是的倒数．同理，全体非零实数的集R*、全体非零复数的集合关于数的乘法也．构成交换群．例５实数域R上全体阶方阵的集合，关于矩阵的加法构成一个交换群．全体阶可逆方阵的集合关于矩阵
5、的乘法构成群，群中的单位元是单位矩阵，可逆方阵的逆元是的逆矩阵当时，是一个非交换群．例６集合关于数的乘法构成交换群关于数的乘法构成一个阶交换群．证(1)对任意的，因为,所以例７全体次单位根组成的集合因此．于是“”是的代数运算．(3)由于，且对任意的，所以1为的单位元．(4)对任意的，有，且所以有逆元．的乘法也满足交换律和结合律．(2)因为数的乘法满足交换律和结合律，所以因此关于数的乘法构成一个群．通常称这个群为次单位根群，显然是一个具有个元素的交换群．例８设是大于1的正整数，则关于剩余类的加法构成加群.这个群称为的模剩余类加群．证(1)由例２知，剩余类的加法“＋”是的代数
6、运算．(2)对任意的，所以结合律成立．(3)对任意的,所以交换律成立．(4)对任意的，且所以0为的零元．(5)对任意的,且所以为的负元．从而知，关于剩余类的加法构成加群． □例９设是大于1的正整数，记则关于剩余类的乘法构成群．证(1)对任意的，有于是，从而．(2)对任意的所以剩余类的乘法“”是的代数运算．所以结合律成立.(3)因为，从而，且对任意的且所以1是的单位元．(4)对任意的，有，由整数的性质可知，存在，使所以，且显然所以为的逆元．从而知，的每个元素在中都可逆．这就证明了关于剩余类的乘法构成群． □注(1)群称为的模单位群，显然这是一个交换群．当为素数时，常记作.
7、易知，(2)由初等数论可知（参见[1]），的阶等于,这里是欧拉函数．如果其中为的不同素因子，那么例10具体写出中任意两个个元素的乘积以及每一个元素的逆元素．易知直接计算，可得表1.2.1由表中很容易看出注观察表1.2.1，我们发现可以把表1.2.1表示为更加简单的形式（见表1.2.2）．表1.2.2123411234224133314244321形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表（multiplicationtable），也称群表（grouptable）或凯莱表（Cayleytable）．人们常用群表来表述有限群的运算．如
