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《近世代数课件--2.1群的定义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1．群的定义内容导航1.1引例1.2群的第一定义及例子1.3群的第二定义1.4群的第三定义1.5群的第四定义1.6几个进一步的概念1.1引例例1集合上所有一一变换……………….引入记号:例2保持平面上正△不变的保距变换.………,具有乘法运算(映射复合),满足性质:Ⅰ．对于乘法来说是闭的:对于；Ⅱ．结合律成立：,对于；Ⅳ．里至少存在一个，能让对于的任何元都成立,这样的称为左单位元；Ⅴ．对于的每一个元，在里存在一个元,记为，能让这样的称为的左逆元.例3保持中多项式不变的变换.1.2群的第一定义及例子群的定义I我们说，一个不空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说
2、作成一个群，假如:III．里至少存在一个，能让对于的任何元都成立,这样的称为左单位元；Ⅰ．对于乘法来说是闭的:对于；Ⅱ．结合律成立：,对于；Ⅳ．对于的每一个元，在里存在一个元,记为，能让这样的称为的左逆元.注1群与运算联系在一起.例4.(平凡群)只包含一个元．乘法是．对于这个乘法来说作成一个群．例5.在数集中,关于熟习的运算,发现一些群的正反面的例子……………...例6在矩阵集合中发现一些群的正反面的例子.例7向量空间是一个加法群例8(重新定义的运算)在上定义运算判断关于给定的运算是否构成群.注2群定义中,I和II是验算,III和IV需要找元素.注3III
3、和IV有逻辑先后.作业:判断下列是否构成群(1)在上定义运算(2)在上定义运算1.3群的第二定义引理1一个左逆元一定也是一个右逆元,这句话的意思是：证明有元有左逆元，使得一方面,但另一方面,所以引理2一个左单位元一定也是一个右单位元．这就是说：证明:群的定义II我们说，一个不空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．对于乘法来说是闭的:对于；Ⅱ．结合律成立：,对于；III’．里至少存在一个，能让对于的任何元都成立,这样的称为右单位元；Ⅳ’．对于的每一个元，在里存在一个元,记为，能让这样的称为的右逆元.证明:(1)定义I证明定义II,已经完成
4、(2)定义II证明定义I,需要类似的二步(作业)1.4群的第三定义群的定义III我们说，一个不空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．对于乘法来说是闭的:对于；Ⅱ．结合律成立：,对于；III’’．里至少存在一个，能让对于的任何元都成立,这样的称为右单位元；Ⅳ’’．对于的每一个元，在里存在一个元,记为，能让这样的称为的逆元.1.5群的第四定义群的定义IV我们说，一个不空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ．结合律成立：,对于；V．对于的任意两个元，来说，方程和都在里有解．证明定义III定义IV定
5、义I定义III(1)定义III定义IV,容易(2)定义IV定义IIII.需要证明：里至少存在一个元，叫做的一个左单位元，能让对于的任何元都成立．对于一个固定的元，在里有解．我们任意取一个解，叫它作：（１）我们要证明这个就是左单位元，即：对于的任意元，成立．有解：（２）由（１），（２）这样，我们证明了的存在．Ⅳ．对于的每一个元，在里至少存在一个元，叫做的一个左逆元，能让成立．这里是一个固定的左单位元．由V，可解．(3)定义I定义III，已经完成。1.6几个进一步的概念以下我们还要说明几个名词和符号．一个群的元素的个数可以有限也可以无限．我们规定定义1一个群叫
6、做有限群，假如这个群的元的个数是一个有限数．不然的话，这个群叫做无限群．一个有限群的元的个数叫做这个群的阶．在一个群里结合律是对的，所以有意义，是的某一个元．这样，我们当然可以把个相同的元来相乘．因为我们用普通乘法的符号来表示群的乘法，这样得来的一个元我们也用普通符号来表示：是正整数并且也把它叫做的次乘方（简称次方）在一般的群里交换律未必成立．但在特别的群里交换律是可以成立的，比方说我们以上三个例子里的群就都有这个性质．定义2一个群叫做交换群，假如对于的任何两个元，都成立．作业:p35:3
