近世代数课件(全)--2-1 群的定义

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1、近世代数第二章群论§1群的定义8/9/2021一、群的定义与例子有Ⅱ.中有左单位元：,有左逆元,使得则称关于代数运算作成一个群.Ⅰ.结合律:并且满足:Ⅲ.对中每一个元素设是一个具有代数运算的非空集合，定义18/9/2021定义2若群的代数运算满足交换律，则称为交换群（Abel群）。例1整数集（1）对于数的普通加法（2）对于数的普通乘法无逆元,不能做成群；加法有结合律、交换律，左单位元0，整数加群；左逆元，因此做成交换群，称为左单位元1，8/9/2021（3）对于运算做成交换群有结合律，且有交换律左单位元-4：左逆元：8/9/2021例2（2）正有理数

2、集（1）非零有理数集做成交换群，称为非零有理数乘群.对于数的普通乘法做成交换群，称为正有理数乘群.对于数的普通乘法例3{全体整数}，对于运算结合律不成立,不做成群.8/9/2021注意：（1）对于考察集合是否作成群：既要考虑元素，又要考虑代数运算；（2）将群的代数运算叫做乘法，简记8/9/2021定义3（1）称只包含有限个元素的群为有限群；为群的阶，；称无限群的阶为无限.（2）称有限群的元素个数记作例4{全体n次单位根}作成一个群，称作n次单位根群。对于数的普通乘法8/9/2021例5在模n的剩余类集合，称为剩余类加法：上定义（1）是代数运算需证明得

3、证是代数运算.8/9/2021于是作成群，称作模n的剩余类加群.（2）适合结合律（3）有左单位元（4）有左逆元记作或简记作8/9/2021二、群的性质及等价判定方法定理1群中左逆元也是右逆元（逆元）；8/9/2021二、群的性质及等价判定方法定理1群中左逆元也是右逆元（逆元）；2.左单位元也是右单位元（单位元）；8/9/2021二、群的性质及等价判定方法定理1群中左逆元也是右逆元（逆元）；2.左单位元也是右单位元（单位元）；3.群的乘法适合消去律：8/9/2021二、群的性质及等价判定方法定理1群中左逆元也是右逆元（逆元）；2.左单位元也是右单位元（

4、单位元）；3.群的乘法适合消去律：4.单位元唯一；逆元唯一；都是单位元设由消去律8/9/2021定义4设是一个具有代数运算的非空集合作成一个半群.，并且满足结合律，则称关于代数运算定理2半群作成群（1）中有右单位元：,有右逆元,使得（2）对中每一个元素8/9/2021定理3半群作成群有,使得（1）中有唯一的单位元：（2）对中每一个元素,有唯一的逆元8/9/2021定理4半群作成群都在中有解.证明：半群作成群有解都在中有解.取定有解，设为e：有解，设为c：即有左单位元e有解，即存在左逆元综上G是群.8/9/2021定理5有限半群作成群消去律成立.证明：

5、显然.设有限半群，消去律成立.因有消去律，故在中有解.同理在中有解.得证G是群.8/9/2021