近世代数课件--从“群”谈起

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1、从“群”谈起辛林7/20/2021数学与计算科学学院一、“群”的起源1、法国数学家，近代代数学的创始人----伽罗瓦(E.Galois，1811-1832)方程的根式求解一元一次方程:一元二次方程：一元三次方程：7/20/2021数学与计算科学学院一元三次方程经过适当的变量替换后化为如下方程：三个根是:(意大利数学家卡尔达诺《大术》1545年)其中是3次单位根，7/20/2021数学与计算科学学院一元四次方程：移项：两边加上：得：令右边的判别式为零，求得y的一个三次方程，求其根，代入上式，求得根x.(卡尔达诺学生----费拉里发现，记载于《大术》中)7/20/2021数学与计算科学学院一

2、般一元n次方程是否有类似的根式解？高斯(GaussC.F.德国数学家，1777-1855)于1799年哥丁根大学完成的博士论文证明了代数基本定理：每一个次数大于等于1的n次复系数多项式恰有n个根法国数学家：拉格朗日(1736-1813)(预解式)，德国数学家：高斯(分圆方程)挪威数学家：阿贝尔(1802-1829)7/20/2021数学与计算科学学院伽罗瓦的最主要功绩：首先提出根的置换概念，每一个方程都可以与一个置换群联系，从而用群论方法彻底解决的方程根式解问题，更重要的是，群论的引入，为现代代数学的发展奠定了基础。方程与群的联系：给定多项式f(x),伽罗瓦群,其元素是的所有置换。称为f

3、的分裂域，7/20/2021数学与计算科学学院2、抽象群：来源较多，难以准确说明，有克莱因抽象群说，也有凯莱抽象群说等。7/20/2021数学与计算科学学院二、群的其它应用1、化学分子对称群（分子对称群仅有32种）研究分子的对称性加深人们对物质性质的认识氨分子：(1个氮原子N和3个氢原子H)AabcNHHH7/20/2021数学与计算科学学院试比较分子结构图与正四面体图的对称变换区别：1)、A为不动点2)、a,b,c在一个平面上为正三角形，作它们的对称变换3)、习惯上记氨的分子对称群记为，由6个元素组成。7/20/2021数学与计算科学学院水分子对称群：水分子OHH水分子对称群习惯记为,

4、由4个元素组成：1)、恒等变换2)、过O的轴的旋转180o3)、分子所在平面HOH的反射4)、过O且垂直于H联线的平面的反射。7/20/2021数学与计算科学学院2、晶体分类各种晶体中原子排列模型表明，这是一个有一定规则的多面体，可以利用空间格点加以表述。例:氯化纳(NaCl)晶体原子排列模型：白：钠原子氯：氯原子7/20/2021数学与计算科学学院19世纪后半叶，科学家发现：1、晶体外形的全部对称形式，称为对称点群，共32种。2、晶体内部构造一切可能的对称形式，称为空间群，230种。晶体分类的数学理论是由俄国数学家E.C.费多罗夫应用群的结构理论于1891年创立。1912年德国物理学家

5、冯.劳厄利用X射线的衍射实验证实了晶体对称群的存在性，为此，他获得1914年度的诺贝尔物理奖。随后英国科学家布拉格父子利用劳厄方法和空间群的计算，给出了晶体中原子的固有排列形状，为此获得1915年诺贝尔物理学奖。7/20/2021数学与计算科学学院3、科学计算的重要方法例设有一块正六边形的瓷砖，在六个顶点上分别染成三个白色和三个黑色，问有几种瓷砖图案？图示如下：计算结果：4种7/20/2021数学与计算科学学院它们是：7/20/2021数学与计算科学学院如何计算？Burnside定理：设有限群G作用于有限集合M上，对G中每一个元素g，记g的不动元的集合为Fg,则M在G作用下的轨道数是7/

6、20/2021数学与计算科学学院4、编码理论编码在数字通讯、计算机和数据处理等科学技术中有广泛应用。信源编码器信道译码器信宿干扰源7/20/2021数学与计算科学学院将信源的信息转化为数字信息传送给收信者称为数字通信.工程上最易实现的是二元数字信息的传送，二元数字信息就是有限长的二元n元数组(c1,…,cn),其中每一个ciZ2.二元n元数组可以表达2n种不同的符号，因此英文字母、数字及有关号码可用适当的二元n元数组表示之。为解决数字传输过程中可能出现的干扰，除采用各种技术处理外，常采用抗干扰编码的方法。7/20/2021数学与计算科学学院设Z2n是信息源的原始数字信息集合。取自然数m

7、>n,作单射E:Z2nZ2m.ImE称为码，ImE中元素称为码字，m称为码长，码字的分量称为码元。显然Z2m是域Z2上的向量空间，如果ImE是Z2m的子空间,称ImE是二元线性码，由于(Z2m,+)的子群与子空间一致，因此二元线性码也称为群码。特别地，当对某些特殊的编码函数E:Z2nZ2m,可以使E成为群同态。比如，E:Z2nZ2m使E(X)=XG,其中G是一个nm矩阵。数字通信群的问题7/20/2021数学与计算科学学院三、高中