《近世代数》PPT课件

《《近世代数》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2章近世代数简介线性分组码中最重要的一个子类---循环码(RS、BCH码)，它的结构完全建立在有限域的基础之上，被称为代数几何码。有限域是以近世代数为基础。10/6/20211天津大学电子信息工程学院2.1几个概念1.质数（素数）一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除。2.合数一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除以外，还能被其他的正整数整除。例2-12，3，5，7，9，11，13，17，19…都是质数；4，6，8，9，10，…都是合数；这样，全体正整数又分为：全体素数和全体合数。10/6/20212天津大学电子信息工程学院3.群(Group)设G是非空集合(set

2、)，并在G内定义了一种代数运算(operation)“。”，若满足下述公理：（1）具有封闭性(isclosed)；（2）结合率成立(isassociative)；（3）G中有一个恒等元e存在(existanidentityelement)；（4）有逆元存在(containaninverseelement)。称G构成一个群。10/6/20213天津大学电子信息工程学院（1）加群(additiongroup)、乘群(multiplicationgroup)（针对群中的运算）（2）群的阶（针对群中元素的个数）（3）有限群(finitegroup)、无限群(infinitegro

3、up)（针对群中元素的个数）（4）交换群(commutativegroup)或阿贝尔群(Abelgroup)（针对群中的运算）10/6/20214天津大学电子信息工程学院例2-2G1：整数全体。对加法构成群，无限加群；对乘法不够成群。Why?G2：实数全体。对加法构成群；除0元素之外的全体实数，对乘法构成群。单位元e=1。这两个群都是无限群。G1和G2有都是阿贝尔群。群将和联系在一起？10/6/20215天津大学电子信息工程学院4.域(Field)对于非空元素集合F，若在F中定义了加法(addition)和乘法(multiplication)两种运算，且满足下面的公理：（

4、1）F关于加法构成阿贝尔群，其加法恒等元记为0；（2）F中非0元素全体对乘法构成阿贝尔群，其乘法恒等元（单位元）记为1。（3）加法和乘法之间满足如下分配率(distributive)：则称F是一个域。10/6/20216天津大学电子信息工程学院（1）域的阶（针对群中元素的个数），记为q。（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：GF(q)。域将和联系在一起？10/6/20217天津大学电子信息工程学院例2-3F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都分别构成域，分别称为有理数域和实数域。F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域中只有两个元素，记为GF(2)。10/6

5、/20218天津大学电子信息工程学院定理：设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类：0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。例2-4验证以p=3为模的剩余类全体：0，1，2构成一个有限域GF(3)。+012001211202201×01200001012202110/6/20219天津大学电子信息工程学院分析：是否构成域？对加法是否构成群？除0之外对乘法是否构成群？（1）对两种运算满足封闭性，即有a。bG；（2）满足结合率，即有(a。b)。c=a。（b。c）；（3）有恒等元（加法为0，乘法为1）；（4）有逆元。即对任意aG，存

6、在有a的逆元a-1G，使a。a-1=a-1。a=e。10/6/202110天津大学电子信息工程学院B.是否为阿贝尔群？是否可交换：a。b=b。a（满足乘法、加法交换率）C.是否满足分配率？10/6/202111天津大学电子信息工程学院5.循环群如果一个元素的各次幂0，1，2，…的全体构成了一个群，称为循环群（cyclegroup），元素称为生成元或者本原元（primitiveelement）。记作：G={0，1，2，…}，其中0=e是单位元。可以证明，有限域GF(q)的q-1个非0元素，在模q乘运算下，可以构成一个循环群（幂群），即G上的所有非0元素可

7、以由一个元素的各次幂0，1，2…，q-1生成。10/6/202112天津大学电子信息工程学院例2-5q=5的伽逻华域GF(5)={0,1,2,3,4}，由5个域元素组成，其中非零元素为1,2,3,4，进行模5乘运算。为了弄清那些元素是本原元，分别计算各元素的各次幂。由本原元可以产生所有的域元素。10/6/202113天津大学电子信息工程学院GF(5)中非零元素的幂、阶及其逆元元素各次幂元素的阶加法逆元乘法逆元01231111114121243（8）4333134（9）2（27）4224141（16）4（64