《近世代数》ppt课件.ppt

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1、§1.1-§1.6目的与要求:◆掌握集合及相关概念．◆掌握映射的定义及相关概念,学会验证映射的合理性．◆熟练掌握代数运算的概念并会验证.◆掌握结合律,交换律,分配律的概念及其性质.《近世代数》精品课程第一章基本概念集合：集合是一个不定义名词，但可以给集合作一些描述性的解释.所谓集合就是具有一定属性的事物组成的整体(或集体).通常用英文大写字母A,B,C，…等表示.§1.1集合一、概念集合中的元素具有:2.元素（或元）:组成一个集合的事物.如果a是集合A中的元素，记作；如果a不是集合A的元素，记作或.几个常用的数集：N(自然数集)，Z(整数集),Q(有

2、理数集)，R(实数集),C(复数集).确定性;互异性;无序性.AaÎAaÎAaÏ《近世代数》精品课程4．子集：设A,B是集合，则(B是A的子集)是指真子集：B是A的真子集是指且，但.幂集：集合S的幂集是指由S的全体子集组成的集合，记作.5．集合的表示方法表示一个集合的方法通常有很多，如列举法：列出它的所有元素，并用一对花括号括起来.描述法：用其中元素所具有的特性来刻画.图表法：用一些特殊的图形来表示出它的所有元素.3．空集：没有元素的集合，记作.《近世代数》精品课程6.集合的分类：集合的分类有很多种，常见的有（1）有限集（2）可数集（3）无序集等等.

3、无限集；不可数集；有序集二、集合的运算补集就是特殊的差，即取A为全集．交：{且}．并：＝{或}．差：{且}．《近世代数》精品课程即由一切从里顺序取出元素组成的元素组，组成的集合．例A={1,2,3}，B={4,5},则下一节我们将考虑集合之间的一种比较工具：映射积：设是n个集合，则集合的积(Descartes积)定义为：={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}，={(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)}．《近世代数》精品课程(3)一般情形，将A换成集合的积，则对　　　　　　　　　　

4、　　　　有注:(1)映射定义中“b”的唯一性：映射不能“一对多”，但可以“多对一”．(2)记法：：，　　．定义1.2.1设A,B是两个集合．A到B的一个映射是指有一个对应法则，使得对于，存在唯一的元素通过与之对应.有时也称对应法则是A到B的一个映射，其中b称为a在映射下的像，记为b=(a)，a称为b在映射下的一个逆像(原像).A称为的定义域，B称为的值域.§1.2映射《近世代数》精品课程例2设则不是映射.因为映射要满足每一个元都要有一个像．而是一个映射．例1设集合,对定义则是一个到B的映射．《近世代数》精品课程《近世代数》精品课程例3设A1=B=Z，

5、则其中,不是一个映射，这是因为当时，b=此时1在下的像就不唯一．例4设(正整数集)，则：不是一个映射．因为时，．例5设为正整数集．定义则.定义1.2.2设是A到B的两个映射，若对，有则称与是相等的,记作.注:映射相等　　构成映射的三要素（值域、定义域、对应法则）全相同．《近世代数》精品课程§1.3代数运算定义1.3.1设A,B,D是三个非空集合.从到D的映射叫做一个到D的二元代数运算；当A=B=D时,从到A的映射简称A上的代数运算或二元运算.一个代数运算可以用表示，并将(a,b)在运算　下的像记作.注:（１）是A上的代数运算　　　　　　，.（２）当A

6、,B是有限集时，到D的代数运算通常可以用一个矩形表（即运算表）给出.《近世代数》精品课程例设A={}，B={}，则到D的一个代数运算()可表示为此表也称为凯莱运算表.结合律、交换律、分配律下面我们将考虑一些常见的运算定律：《近世代数》精品课程§1.4结合律定义1.4.1设是集合A的一个代数运算.如果对任意有,则称代数运算适合结合律，并且将运算结果统一记成．对于A中n个元，当元素的排列顺序不变时(如按下标的自然顺序)，可以有种不同的加括号方法.它们的计算结果未必相同.不妨用，来表示这些加括号的不同方法.《近世代数》精品课程定理1.4.1设集合A的一个代

7、数运算适合结合律，则对任意,所有的都相等，其结果统一记为.《近世代数》精品课程§1.5交换律定义1.5.1设是到的代数运算。如果有成立，则称运算满足交换律.定理1.5.1假设一个集合A的代数运算同时适合结合律与交换律,那么在中，元素的次序可以调换.例判定下列有理数集Q上的代数运算是否适合结合律，交换律？(1)(适合结合律和交换律)(2)(适合交换律，但不适合结合律)(3)(适合结合律，但不适合交换律)(4)(既不适合结合律，也不适合交换律)《近世代数》精品课程§1.6分配律定义1.6.1设⊙是到的一个代数运算，是上　　　　　的一个二元代数运算.若对都

8、有⊙()=(⊙)(⊙)成立，则称⊙，适合第一分配律(左分配律).定理1.6.1假设适合结合律，且⊙，适合第一