《近世代数基础》PPT课件

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1、近世代数基础目录第一章几类实际问题第二章集合与映射第三章二元关系第四章整数与同余方程第五章群的基本概念第六章子群第七章循环群与生成群，群的同构一几类实际问题初等代数、高等代数、线性代数通称为经典代数，其主要研究对象是代数方程。近世代数研究代数系，即在一个集合中定义一种或多种运算构成的系统，如整数集合Z和普通加法“+”构成的体系，记成(Z,+)。近世代数也称抽象代数。近世代数是许多专业研究的基础，同时也是必须的工具，在近代物理、近代化学、计算机技术、数字通讯、系统工程、管理等各学科有着重要的应用价值。例1项链问题用n中颜色的珠子做成有m

2、颗珠子的项链，可以做成多少中不同的项链？按照乘法原理，这样做成的项链应该有nm个。但是考虑到项链的圆对称性，其实有很多经过适当旋转后就变成一样的项链了，需要在计算中把相同的项链数目减掉，因此当n和m比较大时，这样的计算用手工一个一个的计算是很麻烦的。例如：当n=5,m=2时，可以用手工的方法计算得到这样的项链一共有8种。例2苯分子结构的问题类似地用n种元素可以合成多少种不同物质的问题。例如：在一个苯环上结合H原子或CH3原子团，可以形成多少种不同的化合物？显然假定苯环上相邻C原子之间的键都是互相等价的，则此问题就是两种颜色6颗珠子的项

3、链问题。CCCCCH3CCCH3HHHH例3正多面体着色的问题对于一个有m个面的正多面体用n种颜色着色，可以有多少种不同的着色方法，例如正六面体。从数学的角度来讲，n种颜色的集合A={a1,a2,…,an}正六面体面的集合B={b1,b2,b3,b4,b5,b6}对于每一种着色都对应着一个映射：f:B→A反之每一个映射都对应一种着色方法。因此全部的着色方法数为n6，但是由于正多面体的对称性，许多结果经过适当的位置变化都变成一样的了。我们要求的是不同的着色方法数。当n比较小时可以枚举的方法得到，如n=2时，方法数为10，对于较大的n必须

4、用群论的方法。例4图的构造与计数问题图：设V={v1,v2,…,vn}，称为顶点集合，E是由其中的一些2元子集做成的边集合，称G=(V,E)为图。例如：V={1,2,…,10},E={e1,e2,…,e15},其中e1={1,2},e2={2,3},…,e15={7,10},如图G={V,E}。图及其间的关系可以表示电路、水网络、通讯、交通等有形的结构，也可以表示无形的逻辑关系。例如：画出所有点数为3的图。首先算出图的总数，23=8,其中一些是相同的。G1G2G3G8二集合与映射集合的表示形式有两种，一种是直接写出所有元素，一种是写出

5、集合中元素的性质。如：A={1,2,3},B={x

6、p(x)}常用的数的集合：Z={0,±1,±2,…},Z+={1,2,3,…}有理数集合Q，实数集合R，复数集合C。集合A的元素的个数

7、A

8、，从元素个数方面，集合分为有限集和无限集。有限集合

9、A

10、=∞，无限集合

11、A

12、<∞。1.子集与幂：元素a属于A记成a∈A,用a∈A表示不属于。两个集合A、B，若∨a∈A，均有a∈B，称A是B的子集，记成AB,如果同时BA，则A=B，这时如果A≠B，则称A是B的真子集，记成AB，AB表示A不属于B。2.空集与幂集没有任何元素的集合成为空集，记成Ф。由

13、A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记成P(A)。如A={0,1,2},则P(A)={Ф,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},A}A的幂集也可以记成2A,当

14、A

15、<∞时,2A的元素个数正好为

16、2A

17、=2

18、A

19、3.子集运算设U是一个集合，A,B,C都是U的子集，则两个集合的并、交、差和一个子集的余定义为：并：A∪B={x∈U

20、x∈A或x∈B}余：A’=A=UA交：A∩B={x∈U

21、x∈A且x∈B}差：AB=A-B={x∈U

22、x∈A且x∈B}对称差：AΔB=(AB)∪(BA)运算律：幂等、交换、结合、分配、吸收、模

23、、DMG4.包含与排斥原理设A,B,C是U的有限子集，则：

24、A∪B

25、=

26、A

27、+

28、B

29、-

30、A∩B

31、

32、A∩B

33、=

34、A

35、+

36、B

37、-

38、A∪B

39、其它式子略(参考书中形式)当A∩B=Ф时，有

40、A∪B

41、=

42、A

43、+

44、B

45、，即加法原理。定理1:(包含与排斥原理)设A1,A2,…,An是U的有限子集，则例1:求不大于500且可被5,7,9中某一个整数整除的正整数的个数。解:设不大于500可被5整除的正整数集合为A1。不大于500可被5整除的正整数集合为A2。不大于500可被5整除的正整数集合为A3。

46、A1

47、=100,

48、A2

49、=

50、500/7

51、=71,

52、A3

53、

54、=

55、500/9

56、=55=100+71+55–14–11–7+1=195