《近世代数习题》PPT课件.ppt

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1、近世代数第二章习题课7/22/202122:541.设G是群.证明:如果对任意的则G是交换群.证明：得证G是交换群.由消去律，有7/22/202122:542.证明:有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.证明:若若必有且否则若若与a，b取法矛盾.故有限群中阶数大于2的元都是成对出现的，个数必是偶数.7/22/202122:543.假定G是一个阶是偶数的有限群，在G中阶等于2的元的个数一定是奇数.证明：有限群中阶大于2的元的个数是偶数，阶等于1的元只有1个，而群G的阶是偶数，于是阶等于2的元的个数一定是奇数.7/22/202122:544

2、.一个一一变换群的单位元一定是恒等变换.证明：设G是某个集合A的一一变换群，是其单位元，则而是一一变换得证一一变换群的单位元是恒等变换.7/22/202122:546.找出3次对称群的所有子群.解：子群的阶整除群的阶1阶子群只含1阶元，即单位元2阶子群只含1个1阶元和1个2阶元3阶子群只含1个1阶元和2个3阶元6阶子群是其本身7/22/202122:546.找出3次对称群的所有子群.解：所有子群为：7/22/202122:547.找出模12的剩余类加群的所有子群.解：所有子群为：7/22/202122:548.阶是素数的群一定是循环群.

3、证明：设是素数,是素数,7/22/202122:549.假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明，HN是G的子群.证明：7/22/202122:5410.指数为2的子群一定是不变子群.证明：得证指数为2的子群一定是不变子群.7/22/202122:5411.设G是群，且

4、G

5、>1.证明：若G中除e外其余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无限，就是素数.证明:设这个相同的阶不是无限，是合数n.与题中条件矛盾.得证这个相同的阶不是无限，就是素数.7/22/202122:5412.给出下列6元置换：求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶（

6、4）7/22/202122:5413.设为整数加群,（1）证明；（2）求7/22/202122:5414.（1）证明；（2）求7/22/202122:5415.用三种颜色的珠子，串成有5个珠子的项链。问有多少种不同类型的项链？12345(1)1535(12345)513(13524)51(14253)51(15432)51(25)(34)112233(13)(45)1122(15)(24)1122(14)(23)1122(12)(35)11227/22/202122:5416.证明：pm阶群（p是素数）一定有p阶子群.证明：设群G的阶是

7、pm（p是素数）若是p阶子群.若是p阶子群.7/22/202122:5417.证明：假定群G的不变子群N的阶是2，则群的中心包含N.证明：7/22/202122:5418.假定群同态，是的不变子群，是的逆像集合，证明证明：7/22/202122:54