近世代数第7讲

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1、第7讲§5变换群(Transformationgroup)本讲的教学目的和要求:在本讲中我们将进一步熟悉另一种重要理论意义的群─变换群。变换群的重要特点在于，一方面可以说它是一种非常具体的群。它的元素都具有明确的具体的意义，从而使得元素之间的运算方法也有相当明确的具体的意义；另一方面，这种非常具体的群具有普遍的意义：它代表了一切可能的群，这一点是靠凯莱定理来完成的。因此，要求：1、理解什么是变换群；变换群的理论意义。2、凯莱定理的内容以及定理的证明过程。本讲的重点和难点：研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。如果这些问题都得到完满的解答就算达到

2、了目的。关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。凯莱定理告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。故此，本讲中自然以凯来定理为重点，而其难点是有下列二个方面：（1）通过教材中定理2.5.1、定理2.5.2的论述对变换以及有关性质有一个清醒的认识。（2）撑握凯来定理（定理5.3）的证明手法。注意：本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变：将改成:也就是说,过去我们的记法“”将变为“”于是要当心：用教材的话是说：当是映射时，用“”.当是变换时，使用“”.§5

3、变换群(Transformationgroup)一、变换群的概念和基本性质（1）集合的变换和表示形式定义2.5.1设是一个非空集合，映射称为的一个变换。在表示形式方面，若，现将改写为。这样一改，在变换的合成方面，尤其要注意：如果都是的变换，那么也显然是的变换，并且这时要注意：应该是（而过去是写成：。在合成的表示形式上，要习惯这种改变）例1设｛１，２｝．现取出的几个变换　　　（即　）　　　（即　）　　　（即　）　　　（即　）可以看出．是的全部变换，其中和是双射，并且是恒等变换．习惯上记　（或　）。（2）集合的变换的运算利用例１．可以计算一下它们的合成（乘积）：２；２２．　即　这表明　同理知．利

4、用是恒等变换．则　（．这是因为　　并且又有．一般的，设是一个非空集合，而是的恒等映射，那么，对的任一个变换，都有　二、变换群的概念设是一个非空集合，而的一些变换能否形成一个群呢？就以例1做比方。令：为的全部变换组成的集合。对于映射通常的乘积，能成为群吗？事实上，就没有逆元。因为有逆元有逆映射是双射。而不是单射，故没有逆元。不能成为群。同理可知，也没有逆元。和没有逆元等价于和不是双射。因此，我们有定理2.5.1设是的一些变换作成的集合，并且。若能成为群，那么只能包含到的双射。证明：任取.验证是满射又是单射.首先，因为是中的单位元。是满射：于是.这说明是的原象。所以，是满射。是单射：设.如果，那

5、么。所以，是单射。由上证明知：是个双射.证明2：任取，是个双射有逆映射有逆元。我们称到A的双射为的一一变换。定义2.5.2一个集合的若干个一一变换做成的群叫做的一个变换群.定理2.5.3如果是集合的一个变换群.则的单位元必是恒等变换.证明：设是的单位元.欲证。事实上，是的单位元.由于是满射.对于而言必存在使。所以,定义2.5.2只告诉我们什么是变换群，但对于集合来说，的变换群是否一定存在呢？下面的定理将解答这个问题。定理2.5.4非空集合的全部一一变换构成的一个变换群.证明设,须证满足群的第2定义.(1).因为都是双射，所以也是双射.即。这说明映射的合成是上的代数运算。(2)因为映射的合成满

6、足结合律，所以中的运算也满足结合律.(3)因为恒等变换就是的单位元。(4)，是双射,必有逆映射使.故逆映射就是在群中的逆元.由(1)-(4)，是一个变换群.(注:由于包含的全部一一变换,所以习惯上称为的完全变换群,并且记为()).例如在例1中,取出的全部一一变换.那么就是的完全变换群,即。注意:集合的完全变换群是的所有变换群中“最大”的,也就是说千万不认为,一谈到的变换群.就只想到的完全变换群.事实上还有许多非完全变换群的其他变换群.例2假如是一个平面的所有点构成的集合。平面的绕一个点的旋转可以看成的一个一一变换。令G是所有绕一个定点的旋转变换的集合，则G构成一个变换群。这是因为，令表示旋转

7、角的变换。则（1），G对映射合成闭；（2）结合律成立，（3）有单位元（4）。下面将讨论本讲的重点内容凯莱定理.定理2.5.4(凯莱定理)任一个群都能同某个变换群同构.证明首先我们构造一个一一变换集合。设是任意一个群,，利用,我们规定的一个变换，其中,这种变换是一个一一变换。事实上:那么。是满射。（2）且是单射。综合上述知.我们得到由中元素确定的的一一变换集合。其次，证明与同构。规定,。现须证是同构映射。是满射