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1、第22讲§9.极大理想(Maximalideal)一、极大理想的概念(1)定义3.9.1.设是环的一个理想且，如果除了和以外，再也没有能包含的其他理想，那么称是的一个极大理想。将上定义用数学符号表示为:设，。则是极大理想不存在使欲判断理想是极大理想的一般有二步:①验证(即但)一般当,证：。②设且(2)例.例1.设素数,那么由生成的理想必是极大理想.①因为（不整除1）。②设,且,那么说明存在但，换句话说不整除,由的性质使.,且例2.设有理数环,那么取,则主理想必不是极大理想.事实上,则不是极大理想.例3.设—偶数环,而
2、,可验证是的极大理想.事实上,①但②设.须证.显然只需证明即可.但.令而.,而,且二、极大理想的主要定理.定义3.9.2如果环R只有平凡理想，称为单环。引理1.设,那么剩余类环为单环是的极大理想。(这里)证明:()已知是的极大理想,须证只有平凡理想.设是的一个理想。，那么由§8知也是R的理想。又注意到,,则,且,使，这说明。但是极大理想,于是利用是满同态映射，即。是个单环.已知是单环,(即只有平凡理想)今设,且,须证。自然同态:,且由§8定理3.由且,()而仅且这说明中有非零元,但是单环.使由的任意性是极大理想.引理
3、2.设是非零有单位元的交换环。则为域为单环。证明:若为域必为单环显然需要证明是除环即可,也就是说:只要证明中每个元都可逆。,由生成的一个主理想,但是单环又为可换有单位元的环。可逆,由的任意性是除环即是域.定理3.9.3.设为有单位元的交换环,而,那么为域I是的一个极大理想。证明:为域为单环为的极大理想.为的极大理想为单环……(1)又为极大理想(2)可交换且可交换且单位元为…(3)由(1),(2),(3)为域.三、素理想(1)定义3.9.4.设,若,由必有或.则称为的一个素理想.例5.设是一个素数,则是的一个理想,那么
4、,是的素理想.注意:结合例1与例5知当为素数,那么既是的极大理想也是的素理想.例6.显然零理想是的素理想,但不是极大理想.设是一个环那么(1)必然是素理想.(2)零理想是R素理想是无零因子环.
