数学分析考题1

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1、《数学分析》考试题一(满分10分，每小题2分)判断题：1设数列{色}递增且(有限).则有a=sup{an}.()2设函数/(x)在点X。的某邻域U(兀o)内有定义若对当xnxQ吋，数列{f(xn)}都收敛于同一极限.则函数/(兀)在点兀0连续.(3设函数y=/(x)在点X。的某邻域内有定义.若存在实数A,使心T0吋,.f(兀0+心)一/(x0)一AAr=。(心)，则.厂(兀。)存在且.厂(兀。)=A.(4若fx{)=fx2)=0,fx})<0f(x2).(5设J于(兀)c/x

2、=F(x)+c,Jg(x)/Y=G(x)+c.则当F(x)HG(x)吋，有/G)Hg(x)・()二(满分15分，每小题3分)填空题：6n+l

3、1an=E/.lim%=•tfV9n2+k"Ts2函数f3二厶一彳的全部间断点是x-33./(x)=ln(l+x2),己知lim/^o)-/Uo-2A)^6>兀。力toh54.函数/(x)=x3-3x2—9x+1的既递减又下凸的区间是5.二(满分Jf(x)dx=sin2x+c,jxfx)dx=36分，每小题6分)计算题：lim空1.I。厶+1一14求函数/(x

4、)=4x-(5x+l)5的极值.dxx^x2+1Jln(x+Jl+F)dx.J-dx•x~—2x+5在边长为a的正三角形的三个角上剪去长为兀的四边形(如右上图)，然后折起来做成底为正三角形的盒子.求最大体积.尢+4三(满分7分)验证题：用“E-8”定义验证函数/(%)=在点兀。=2连续・5x-2四(满分32分，每小题8分)证明题：1设函数/在区间［0,2。］上连续，且/(0)=/(2a)・试证明：3c€［0,«］,使.f(c)=/(c+d).2设函数/(x)在区间I上可导，且导函数/'(X)在该区间上有界•试

5、证明函数/'(兀)在区间I上一致连续.3设函数/(兀)在区间［0,0］上二阶可导，且/(67)=0.F(x)=x2f(x).试证明：m§w(0,a),使F"(§)=0・4试证明：对Vx,,x2,---,x„gR,有不等式+X)xn孑］xj+X寸X；-q-(十二)一年级《数学分析》考试题一判断题(正确的记(J),错误的记(X))(共18分，每题3分)：1.设/(x)在［a.b］上连续，M与加分别是/(%)的最大值和最小值，则对于任何数c(m

6、g(r)在(Q,b)内可导，且/(x)>g(X),则(兀)>gX)0()3.设｛xj的极限存在，｛儿｝的极限不存在，贝lj｛x„+儿｝的极限未必不存在。()4.如X=x0是函数f(X)的一个极点，则.厂(无0)=0。()二证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。(10分)三证明：RH屮任意有界的点列屮必有收敛的子点列。(io分)四计算下列极限：(9分)]・sin(兀y)gy)->(0,0)xlim(%2(x,y)T(0,0)lim（sy）T（1,0）%计算下列偏导数：（10分）(1)uex(x2+(2)Z=10

7、g(X,+（10分）计算下列函数的JacobianJj:(1)f(X.y.z)=X2ysin(yz)；(2)/(",兀2,…，心)=(屛+（10分）设隐函数y（x）由方程八（门分）在椭球2xarctanx2+a_内嵌入有最大体积的长方体，九、（10分）求椭球面X2戸++兰一]b2c2问长方体的尺寸如何?过其上的点P（尤0，儿，z°）处的切平面的方程。十、（2分）设函数/（x,y）,g（x，y）是定义在平而开区域g内的两个函数，在dfJ（J方g°工odx[d~&卩）令兀0G内均有连续的一阶偏导数，且在G内任意

8、点处，均有又设有界闭DuG，试证：在D中满足方程组的点至多有有限个。(十三)一年级《数学分析》考试题一判断题(正确的记(J)，错误的记(X))(共18分，每题3分)：1设/(x)在［a.b］上连续，M与m分别是/(%)的最大值和最小值，贝对于任何数c(mg(x),则厂(兀)>g'(%)o()2.设｛兀”｝的极限存在，｛y“｝的极限不存在，则｛xfl+y”｝的极限未必不存在。()3.如x二X。是函数/

9、(%)的一个极点，则/'(X。)=0。()&存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。()9.对于函数X+CE",由于lim(V+C0SV)^lim(l-sin%)不存在，根据洛必达法XXT8才XT8X4-COSX制，当X趋于无穷大时，的极限不存在。()X二计算下列极限：(18分)1lim(nsin丄)"T8712lim(—sinn)；r/111、3lim(r+尸+…+)；心8