北航数学分析期中考题-答案

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1、北京航空航天大学2010－2011学年第一学期期中《工科数学分析(I)》试卷班号学号姓名成绩题号一二三四五六七八总分成绩阅卷人校对人2010年11月25日8一计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1)计算极限解：…………..（3分）=……………（2分）2)求下面无穷小的阶.解：………………………（3分）为1阶(2分)3)假设求.解：………………..(2分)……….(3分)4)假设求.8解:(2分)(3分)1)假设求解:(3分)(2分)2)求在的阶Taylor展开,并写出peano余项.解:(2分)(3分)3)假设函数,判断函数的凹凸性.解(4分)凸函数(1分)81)已知为正整数.求:满足

2、什么条件，函数在连续，满足什么条件，函数在可导.解:，函数在连续(2分)，函数在可导数(3分)二证明下面问题（10分）假设证明数列单调有界，且极限为.证明:1)数列单调递减有下界(5分)2)下面说明极限为(5分),三.证明下面问题（10分）假设数列满足,用Cauchy收敛定理证明收敛.证明1)(5分)2)柯西定理写正确5分8四.证明下面不等式(10分).证明:1)下面每个式子2分,共6分2)(2分)因此3)(2分),五.（10分）假设函数和在存在二阶导数，并且,且，证明下面问题:1）在内；2）在内至少存在一点在满足.证明:1)下面每个式子2分,共6分用反证法证明,假设.则矛盾,结论得证.2

3、)令……..(2分)………………(2分)8…………(1分)六(10分)假设函数在存在二阶导数,并求解和证明下面问题.1)写出在的Lagrange余项的Taylor公式;2)证明在至少存在一点满足.证明1)下面每个式子2分介于之间.介于之间.2)2分2分而在区间上的最大值,(2分)因此七（10分）证明下面问题8假设定义在上.如果对内任何收敛的点列都有存在,则在上一致连续.证明:1)写出不一致连续定义3分如果在上不一致连续,则2)写出下面3分(有界数列必存在收敛子列)则存在3)下面结论4分构造数列收敛且极限为,(2分)则有已知条件存在,因此(2分)与1)矛盾.八（10分）附加题(下面两个题目任

4、选其一)1)假设函数,证明下面问题a)对于任意的自然数,方程在中仅有一根.b)设满足,则证明:1)5分,由介值定理.(3分)(2分)因此根唯一.2)5分由于（2分）8由极限的保号性（2分）单调性和夹逼定理（1分）2)用有限覆盖定理证明下面问题假设函数定义在,对于,都存在,则在上有界.证明：1）4分存在，根据函数局部有界性2）3分根据有限覆盖定理，存在有限个3）3分取，则，，则。8