数学分析思考题.doc

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1、数学分析思考题集思考第一章函数1.何谓函数，函数关系，函数值？2.函数y=f(x)与方程y二f(x)在概念上有何区别？3.怎样确定函数的定义域？4.怎样才算完全确定了一个函数？应该如何规定两个函数相等？下而各对函数是否相等？(1)f(x)=x,g(x)=(Vx)2；x2_i(2)f(x)=x-l,g(x)=:x+l⑶f(x)=IXI,g(x)=Vx^；(4)f(x)=Jx+1•Vx-1,g(x)=Vx2-1:⑸f(x)=rx_1,I■X>1X<1-1,(6)f(x)=“x,x<-l-1

2、5.若函数y=f(x)的反函数就是它本身，试问此函数的图彖有什么样的特点?6.下列函数是否是初等函数？说明理山.(l)f(x)=lxl；(2)f(x)=(x+sinx)XC0SX；'sinx⑶f(x)二lo,x>0x<0X<-c(4)f(x)二丿x,-cc7.设f(u)与u=(p(x)能复合为f((p(x)),⑴若f(u)递增(递减)，(p(x)递减，试研究f((p(x))的单调性.⑵若f(u)为奇(偶)函数，(p(x)为偶(奇)函数，试研究f((p(x))的奇偶性.⑶若f(u)为任意函数，(p(x)为偶函数，试研

3、究f((p(x))的奇偶性.(4)若f(u)为有界函数，(p(x)为任意函数，试问f((p(x))是否一定是有界函数？(5)若f(u)为任意函数，(p(x)为周期函数，试问f((p(x))是否一定是周期函数？1.判断下列命题是否止确，为什么？⑴若f(x)在V[ot,p]u(a,b)上有界，则f(x)在(a,b)上有界.(2)设F(x)在[a,b]上有定义,且在V((x,f3)u[a,b]上有界,则f(x)在[a,b]上有界.2.适合下列条件的函数存在吗？为什么？⑴在R=(_8,+°°)上严格递增的有界函数.(2)在R=(-8,+8)

4、上严格递增的偶函数.(3)在R=(_8,+8)上严格递减的奇函数.(4)在(-0,0)内为偶函数,且在R=(-8,+8)上又为奇函数.(5)在R上严格递增的周期函数.3.设f(x)在R上有定义,且满足f(x)H0,f(x・y)=f(x)・f(y),试求f(1990).4.用肯定语气叙述：在(-8,+8)上(l)f(x)不是偶函数；(2)f(x)不是周期函数；(3)f(x)不是单增函数；⑷f(x)不是单调函数.5.用肯定语气叙述：(1)f(x)在[a,b]上无下界;(2)f(x)在[a,b)上没有零点；⑶f(x)在(a,b)上没有比中

5、点函数值大的点.6.若f(x)是对■应的奇函数，试证其反.函数也是奇函数.7.设f(x)满足关系式2f(x)+f(丄)=-(k为常数)，证明:f(x)为奇函数.XX8.设f(x)为(-3+上的奇函数，且在[0,+8)上严格增，求证：f(x)在(-牟+->)上严格增.9.设0af(x1)+(l-a)f(x2)及g[aX[+(l-a)x2]

6、x()]+(!-a)gff(x2)].1.设f(x)在(_8,+8)上严格增,且恒有f[f(f(x))]=f(x),试证：必有f(x)=x.2.若f(x)是在(-8,+8)上单增的偶函数,且f(0)=0,则f(x)=O.3.若f(x)满足条件：对VxwR有f(x+Z)=-f(x)(g>0),证明：f(x)是以0为周期的函数.4.设殆数a>0,函数f(x)H0,且f(x+a)=—,xeR,试证：f(x)是以2a为周期的周期函数.5.若y=f(x)(xgR)的图形关于两丸线x=a与x=b(a

7、x)和g(x)分别是以◎和伐为周期的函数，口q=为互质的正整数),Jm证明:F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x),是以为周期的函数.T7.证明：若f(x)是以T为周期的周期函数，则f(ax)(a>0)是以丄为周期的周期函数.8.函数y=f(x)具有反函数的充要条件是什么？25•选择填空:(1)奇、偶函数的定义域一定是(A)R(B)关于原点对称的区间(C)关于原点对称的点集(D)A、B、C都不对⑵函数f(x)=Ixsinxlecosx,xw(y>,+8)是.(A)有界函数(A)非奇非偶函数(B)单调函数(B)有界

8、函数(D)偶函数(C)非周期函数(E)有界周期偶函数⑷若f(x)为奇函数，则下列款中的函数也是奇函数.(A)f(x)+a(aH0,为常数)(B)f[f(x)](C))f(-x)+a(a^O,为常数)(D)f(x)+f(-x)lxl