数学分析_刘正荣_多变量微分学思考题.doc

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1、华南理工大学数学科学学院---《数学分析》思考题多变量微分学1．求函数在点的偏导数与，并考察在点处可微性.2．设，，求，.3．证明：若在点的邻域内，存在，且在点连续，又存在，则函数在点可微.4．证明：若二元函数在点的某邻域内偏导数与有界，则在内连续.5．确定正数，使曲面与椭球面在某点相切（即在该点有公共切面）.华南理工大学数学科学学院---《数学分析》思考题解答多变量微分学1．求函数在点的偏导数与，并考察在点处可微性.证,.且不存在.所以函数在点处不可微.2．设，，求，.解令，有，.3．证明：若在点的邻域内，存在

2、，且在点连续，又存在，则函数在点可微.证，有.由已知条件，有,其中，.又由已知条件，有.于是，，其中.即函数在点可微.4．证明：若二元函数在点的某邻域内偏导数与有界，则在内连续.证明设在内成立.，取充分小，使，且分别连接这两点到点的两线段（完全在内）.于是.因此，即在连续，故在内连续.5．确定正数，使曲面与椭球面在某点相切（即在该点有公共切面）.解设两曲面的公共切点为，则曲面在点的切平面方程为，椭球面在点的切平面方程为，由已知它们应为同一平面，则有，即.又,所以，则得，.因此所求公共切点为或或或.