数学分析思考题

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1、数学分析思考题集第一章函数思考题：1.何谓函数，函数关系，函数值？2.函数y二f(x)与方程y=f(x)在概念上有何区别？3.怎样确定函数的定义域？4.怎样才算完全确定了一个函数？应该如何规定两个函数相等？下面各对函数是否相等？(1)f(x)=x,g(x)=(Vx)2；x2_](2)f(x)=x-l,g(x)=——;x+1⑶f(x)=IXI,g(x)=V?；(4)f(x)=Vx+1・Jx-1,(5)f(x)={r1.X>1X<1g(x)=V^l;_1,⑹f(x)=0x<0_C,(4)f(x)Jx,X<-c-ccx<-l-

2、1

3、{

4、l+x

5、-

6、l-x

7、}.X>11.若函数y=f(x)的反函数就是它本身，试问此函数的图象有什么样的特点?2.下列函数是否是初等函数？说明理rti.⑴f(x)=

8、x

9、；(2)f(x)=(x+sinx)XC0SX；3.设f(u)与u=(p(x)能复合为f((p(x)),(1)若f(u)递增(递减)，(p(x)递减，试研究f((p(x))的单调性.⑵若f(u)为奇(偶)函数，(p(x)为偶(奇)函数，试研究f((p(x))的奇偶性.(1)若f(u)为任意函数，(p(x)为偶函数，试研究f((p(x))的奇偶性.(2)若f(u)为有界函数，(p(x)为任

10、意函数，试问f((p(x))是否一定是有界函数？(3)若f(u)为任意函数，(p(x)为周期函数，试问f((p(x))是否一定是周期函数？1.判断下列命题是否正确，为什么？⑴若f(x)在X/[a,pjc(a,b)上有界，则f(x)在(a,b)上有界.(1)设f(x)在[a,b]上有定义，且在V(a,p)g[a,b]±有界，则f(x)在[a,b]上有界.2.适合下列条件的函数存在吗？为什么？⑴在R=(-OO,+8)上严格递增的有界函数.(2)在R=(-oo,+g)上严格递增的偶函数.(3)在R二(-8,+g)上严格递减的奇函数.(4)在(-0,0)内为偶函数，且在R=(-°°

11、,+°°)上又为奇函数.(5)在R上严格递增的周期函数.3.设f(x)在R上有定义，且满足f(x)#0,f(x-y)=f(x)-f(y)，试求f(1990).4.用肯定语气叙述：在(-8,+g)上(1)f(x)不是偶函数；⑵f(x)不是周期函数；(3)f(x)不是单增函数；(4)f(x)不是单调函数.5.用肯定语气叙述：(1)f(x)在[a,b]上无下界；(2)f(x)在[a,b)上没有零点；⑶f(x)在(a,b)上没有比中点函数值大的点.6.若f(x)是一一对应的奇函数，试证其反函数也是奇函数.1V7.设f(x)满足关系式2f(x)+f(-)=-(k为常数)，证明:f(x

12、)为奇函数.XX8.设f(X)为(-8,+OO)上的奇函数，且在[0,+CO)上严格增，求证：f(X)在(-8,+8)上严格增.9.设05a51,函数f(x)及g(x)对任意的X],x2分别满足f[ax,+(l-a)x2]>af(xl)+(l-a)f(x2)及g[ax]+(l-a)x2]

13、，且f(0)=0,则f(x)三0.3.若f(x)满足条件:对VxeR有f(x+0)=-f(x)(£>O),证明：f(x)是以0为周期的函数.4.设常数a>0,函数f(x)H0,且f(x+a)二」一，xgR,试证：f(x)是以2s为周f(x)期的周期函数.5.若y二f(x)(xwR)的图形关于两直线x二a与x=b(a

14、ax)(a>0)是以丄为周期的周期函数.a24.函数y=f(x)具有反函数的充要条件是什么？25.选择填空：(1)奇、偶函数的定义域一定是.(A)R(B)关于原点对称的区间(C)关于原点对称的点集(D)A、B、C都不对⑵函数f(x)=

15、xsinx

16、ecosx,xg(-00,4-00)是.(A)冇界函数(B)单调函数(C)周期函数(D)偶函数(3)函数D(x)=«l,x为有理数曰0,x为无理数疋(A)非奇非偶函数(B)有界函数(C)非周期函数(D)偶函数(E)有界周期偶函数⑷若f(x)为奇函数，则下列款屮的函数也是奇