数学分析(3)复习参考题

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1、数学分析（3）复习参考题1.叙述并证明上的柯西准则、闭域套及聚点存在定理.2.叙述重极限与累次极限概念，并论述它们的关系.3.证明下述极限：（1）；（2）4.讨论下述函数在处的累次极限与重极限的存在性：（1）；（2）；（3）.5.论述二元函数连续与单变量连续之间的关系.6.证明：若在有界闭域上连续，则在上有界、一致连续而且最值存在.7.叙述二元函数可导与可微的概念；论述可微、可导及连续之间的关系.8.求下列函数的偏导数与全微分：（1）；（2）（3）；（4）.9.论述可微、方向导数存在及连续之间的关系.10.叙述高阶偏导数与高阶全微分的概念；叙述并证明二元函数中值定理及泰勒公式.11.叙述并证

2、明二元函数极值存在的必要条件与充条件.12.求下述函数的二阶偏导数：（1）；（2）；（3）；（4）.13.求下述函数在处的二阶泰勒展开式：（1）；（2）；（3），其中，.14.求下列函数的极值：（1）；（2）；（3）.15.求函数在上的最大值与最小值.16.叙述二元（及元）隐函数存在唯一性、连续性及可微性定理；叙述隐函数组及反函数组存在可微性定理.17证明方程在的某邻域内能确定隐函数，并求18.试问由方程在附近能确定什么样的函数？在此基础上，进一步设（其中是可微函数），试问如何计算？19.设由方程确定隐函数，试求与.20.（1）求抛物面在点上的切平面与法线方程；（2）求球面与锥面的交线在处的

3、切线与法平面方程.21.叙述条件极值的拉格郎日乘子法及条件极值的必要条件与充分条件.22.（1）求函数在条件（其中）下的极值；（2）求函数在的极值；并证明：，有.23.叙述第一型与第二型曲线积分的概念、几何意义、物理意义及基本性质.24.给出第一型曲线与第二型曲线积分的联系公式.25.计算下列曲线积分：（1），其中由，及所围区域在第一象限的扇形区域的整个边界；（2），其中为；（3），其中为和所围成的封闭曲线（按逆时针方向）；（4），其中为由点到点的直线段.26.叙述二重积分的概念及基本性质；证明二重积分的中值定理及保序性定理.27.（1）设为连续函数.证明：；（2）估计积分的取值范围.28.

4、更改下述累次积分的次序：（1）；（2）.29.计算下述二重积分：（1）；（2），其中；（3），其中是由，及与所围成的区域；（4），其中是由，及，所围成的区域；（5）；（6）.30.计算下列三重积分：（1），其中由，及所围成；（2），其中由，，所围成；（3），其中是由及，，围成的立体；（4），其中由，与所围成.31.（1）求椭圆内部的点所构成的区域的面积（其中）；（2）求由曲面，与平面所围立体的体积；（3）由所围立体的体积；（4）求曲面含在柱面内的部分的面积.32.叙述第一型与第二型曲面积分的概念、基本性质以及几何意义与物理意义.33.计算下述曲面积分：（1），其中为，，，；（2），其中；（3

5、），其中为：的上半部取外侧；（4），其中为球面的外侧.34.叙述并证明关于平面曲线积分的格林公式及保守场定理.35.试用格林公式计算下列曲线积分：（1），其中由，及左上半圆弧所围成的闭区域的边界按顺时针方向；（2），其中为椭圆的右半部分的逆时针方向.36.叙述并证明关于三重积分的高斯公式.37.叙述关于空间曲线的斯托克斯公式以及空间曲线积分与路径无关的条件.38.利用高斯公式计算下述曲面积分：（1），其中为上半球面的上侧；（2），其中由，及三个坐标平面所围成的第一卦限部分的外侧.39.利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1），其中是立方体的表面与平面的交线，的定向是从轴正向看去为逆时针方向；

6、（2），其中与（其中的交线，的定向使得所包围的球面上较小区域保持在左边.40.叙述含参变量定积分的概念及基本性质.41.叙述含参变量广义积分一致收敛的概念及基本性质.42.叙述函数与函数的概念、基本性质及常用计算方法.43.设（其中），为可微函数，试求.44.讨论下述含参变量广义积分在指定区间上的一致收敛性：（1），（i），（ii）；（2），（i），（ii）.45.求函数的连续区间.