数学分析(3)复习题

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1、数学分析（3）复习题（全部）准备发邮箱cumtmaths@126.com上去（密码同名子）一、泰勒公式与极值问题练习题1．利用二元函数的泰勒公式证明:和有,.进一步证明下面的Yong’s不等式:若,则对有.提示:对函数在点展开为一阶泰勒公式,再利用雅可比矩阵的半负定性.最后取即可.2．求函数的极值点和极植.提示:见课件;类似于教材P138例6;利用极植的必要条件和充分条件.3．求二元函数在直线,轴和轴所围成的闭区域上的最大值和最小值.提示:先求在区域内的驻点,再求函数在直线上的最值点,最后比较.4

2、．在平面上求一点,使它到三直线,及的距离平方和最小.提示:见教材P141习题11.二、隐函数定理及应用练习题1．已知：，求和提示：利用隐式方程求导法。答案：，。172．设具有连续偏导数，已知，求。提示：利用一阶全微分形式的不变性。答案：。3．设函数由方程组所确定，求和。（见教材P158习题6）4．已知：，求和。（见教材P158习题2（3））5．求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线和法平面方程。（见教材P161例2）6．教材P163习题97．求旋转抛物面与平面之间的最短距离。提示：点到平面的距离公式

3、，求在约束条件下的极值。答案：，8．在过点的所有平面中，求出与三个坐标平面围成立体体积最小的平面。提示：设平面方程，则体积，求的极值可转化为求的极值答案：三、含参量积分练习题1．设，求和。答案：，解题过程中要说明依据。172．求，见教材P178例43．计算，是所围闭区域。提示：考虑积分次序。答案：24．计算二次积分提示：画出积分区域，转化为二重积分，交换积分次序。答案：四、重积分及其应用练习题1．计算积分。（交换积分次序）2．，提示：用直线将分成两部分去绝对值。答案：3．教材P236例24．计算，

4、提示：用极坐标，答案：5．计算，其中。（用极坐标计算）6．计算积分，其中是所围成。提示：用直角坐标或柱坐标，先沿着轴方向穿针。7．计算，是与所围闭区域。提示：用直角坐标，先二后一最简单。也可用其它方法，如用柱坐标：178．计算，由，所围提示：积分区域是球形区域的一部分，宜采用球坐标。答案：9．教材P250例5。10．求球体与公共部分的体积。[参见课件]11．教材P253例112．设是由曲线绕轴旋转一周形成的旋转体，质量均匀，求其重心。[参见课件]13．求半径为的均匀半圆薄片对其径的转动惯量。[参见

5、课件]五、曲线积分空间曲线的一般方程切向量所以切线方向为它正好是弧长增加的方向弧长微分向量它是切线上一段，方向与切线方向一致17弧长微分单位切向量则是切向量与轴正向的夹角。因此，我们有即为的在三个坐标轴上的投影，它有符号，符号由方向余弦确定。平面曲线的一般方程单位切向量则是切向量与轴正向的夹角。那么，法向量为其中到成右手系（同轴到轴，见下图），我们约定这个为有向曲线的单位法向量第一型曲线积分17（1）定义：，是小弧的长度（2）性质：（3）计算：（4）应用：曲线的质量（上面看作线密度），重心，转动惯

6、量等（5）平面曲线的特殊情况（以下请自己填上）第二型曲线积分（1）定义：，有符号，即向轴的投影，（2）性质：（3）计算：设，则，其中对应起点，对应起点。（4）应用：力作功两类曲线积分的联系———————————————————————————————————————下面的材料（两水平线中间的部分）供大家复习时参考。事实上，符号选取的规则为：当弧长增加方向与参数增加方向一致时，取正号，否则，取负号。即若起点与对应，终点与对应，则17而总之，积分下限与起点的参数对应，积分上限与终点的参数对应（有可能下

7、限大于上限）。例如，为单位上半圆周，从到（见下图），求如果用作为参数，增加的方向与弧长增加的方向相反（切线与轴夹角是钝角），当限制积分上限大于下限时取负号（弧长微分向量向轴投影是负的）。如果采用作为参数方程，增加的方向与弧长增加的方向一致，当限制积分上限大于下限时取正号。_______________________________________________________________________________练习题1．，为在第四象限部分要求按三种方法做：答案：4[方法1]直角坐标

8、系，[方法2]参数方程，[方法3]极坐标，2．，为点到点的直线段17提示：写出直线的参数方程，然后代公式计算。答案：3．计算球面上三角形围线的重心坐标（）。提示：由对称性。答案：4．，是沿和所围封闭曲线正向。提示：画草图如下，（可选作参数）或用Green公式（试一下答案是否一样）答案：5．力场，问质点从原点沿直线移到曲面的第一卦限部分上哪一点做的功最大，并求最大功。提示：设是椭球面上一点，从原点沿直线移到点所作的功为，求得，然后再根据约束条件用Lagrange乘数法求极值答案：6．